Решение

Начальная напряженность

Перейдем в систему пучка. В ней заряды тока неподвижны. При равномерном распределении зарядов в пучке эти заряды создают электростатическое поле, нахождение которого является стандартной задачей.

Воспользуемся результатом решения задачи $6.2.6$. Поле $E$ на поверхности пучка

$$E_0=\frac{\rho r_0}{2\varepsilon_0},$$

где $\rho$ есть объемная плотность заряда внутри пучка.

Выразим $\rho$ с помощью стандартных определений для начала через концентрацию $n$ электронов в пучке:

$$\rho=\frac{q}{V}=\frac{eN}{V}=en.$$

Теперь с помощью определения тока $I=nevS=nev\pi r_0^2$ перепишем предыдущее:

$$\rho=\frac{I}{v\pi r_0^2}.$$

Полученное выражение для $\rho$ подставим в формулу напряженности

$$\boxed{E_0=\frac{I}{2\pi\varepsilon_0 vr_0}.}$$

Зависимость $u(r)$

Теперь найдем расстояние $L$, которое успеют пройти электроны вдоль оси пучка за время $T$ расширения пучка вдвое.

Считаем, что в начальный момент скорости всех электронов направлены вдоль оси пучка и равны $v$.

Продолжим рассуждения в системе отсчета пучка. Считаем, что электроны начинают расталкиваться под действием только сил Кулона из состояния покоя в радиальном направлении.

По теореме Гаусса и симметрии расталкивания можно заключить, что напряженность поля принимает наибольшее значение всегда на поверхности пучка. Это значит, что сила и, следовательно, ускорение приповерхностных электронов определяет расширение пучка. Далее рассматриваем движение одного из таких электронов.

Запишем для электрона второй закон Ньютона в радиальном направлении

$$Ee=m_e\frac{du}{dt},$$

где $u$ есть радиальная скорость электрона.

При расширении осевые скорости электронов не меняются, ток не меняется. Поэтому напряженность $E$ можно представить функцией от переменного радиуса $r$ по результатам первой части решения.

$$\frac{b}{r}e=m_e\frac{du}{dt},$$

где $b=I/2\pi\varepsilon_0v$.

В этом уравнении удобно исключить время, так как $dt=dr/u$; после этого его можно переписать:

$$be\frac{dr}{r}=m_eu\,du.$$

Достаточно просто проинтегрировать и получить

$$\boxed{be\ln\left(\frac{r}{r_0}\right)=m_e\frac{u^2}{2},}\tag{1}$$

с учетом того, что $u=0$ при $r=r_0$.

Зависимость $t(x)$

Перепишем уравнение $(1)$ с учетом $u=dr/dt$, обозначая $x=r/r_0$

$$\sqrt{\frac{m_er_0^2}{2be}}\frac{dx}{\sqrt{\ln x}}=dt.$$

Предварительный результат для зависимости времени $t$ от параметра $x$, характеризующего расширение пучка,

$$t=\sqrt{\frac{m_er_0^2}{2be}}\int\frac{dx}{\sqrt{\ln x}}.$$

Следующая задача вычислить интеграл

$$\boxed{I=\int\frac{1}{\sqrt{\ln x}}dx.}$$

Введем параметр $t$, который является просто обозначением для $\sqrt{\ln x}$ и не связан с временем, а нужен для расчета интеграла. Из $t=\sqrt{\ln x}$ имеем $x=e^{t^2}$, так что $dx/dt=2te^{t^2}$, то есть дифференциал $dx=2te^{t^2}dt$. Тогда перепишем интеграл

$$I=2\int e^{t^2}dt.$$

Разложение экспоненты в ряд дает:

$$e^{t^2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{n!}.$$

Теперь в терминах суммы:

$$I=2\int \sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{n!}dt=\sum_{n=0}^\infty\frac{2}{n!}\int t^{2n}dt.$$

Интеграл берется. Получаем после упрощающих преобразований

$$I=2t\sum_{n=0}^\infty\frac{t^{2n}}{n!(2n+1)}+C$$

и в терминах $x$ записываем

$$2\sqrt{\ln x}\sum_{n=0}^\infty\frac{(\ln x)^{n}}{n!(2n+1)}+C,$$

где $C$ есть постоянная интегрирования.

Итак, для $t(x)$

$$t=\sqrt{\frac{m_er_0^2}{2be}}\left(2\sqrt{\ln x}\sum_{n=0}^\infty\frac{(\ln x)^{n}}{n!(2n+1)}+C\right).$$

Постоянная $C$ находится из условия, что при $t=0$ имеем $x=1$. Это дает $C=0$.

Окончательно для $t(x)$

$$t=\sqrt{\frac{m_er_0^2}{2be}}\left(2\sqrt{\ln x}\sum_{n=0}^\infty\frac{(\ln x)^{n}}{n!(2n+1)}\right).$$

Для смещения пучка $l=vt$ вдоль его оси:

$$\boxed{l=\sqrt{\frac{m_er_0^2v^2}{2be}}\left(2\sqrt{\ln x}\sum_{n=0}^\infty\frac{(\ln x)^{n}}{n!(2n+1)}\right).}$$

где $b=E_0r_0$ и $x=r/r_0$.

Смещение за время расширения радиуса пучка от $r_0$ до $2r_0$ дается подстановкой $x=2$:

$$L=\sqrt{\frac{m_er_0^2v^2}{2be}}\left(2\sqrt{\ln 2}\sum_{n=0}^\infty\frac{(\ln 2)^{n}}{n!(2n+1)}\right).$$

Значение суммы прямым расчетом удобно оценить как

$$\sum_{n=0}^\infty\frac{(\ln 2)^{n}}{n!(2n+1)}\sim\sqrt2.$$

А для натурального логарифма положить

$$\ln2\approx\frac{2}{3}.$$

После этого получаем ответ

$$L\approx\sqrt{\frac{8m_er_0^2v^2}{3be}},$$

а в терминах данных

$$\boxed{L\approx\sqrt{\frac{8m_er_0v^2}{3Ee}}.}$$