Решение

Условие

$7.2.10.$ Где сфокусируется тонкий параллельный пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов $V_0$, электрическим полем, созданным двумя концентрическими сферами радиуса $R$ и $R - \Delta$, $\Delta \ll R$? Внешняя сфера заземлена, потенциал внутренней сферы $V \ll V_0$, пучок проходит через центр сфер.

Решение

Поскольку пучок ускорен разностью потенциалов $V_0$, продольная скорость электронов (с зарядом $e$ и массой $m$) равна:
$$U = \sqrt{\frac{2eV_0}{m}}$$

Так как $V \ll V_0$, изменением продольной скорости электронов при прохождении через систему можно пренебречь. Скорость $U$ остается практически постоянной. Внешняя сфера заземлена, поэтому электрическое поле существует только в узком зазоре шириной $\Delta$ и направлено радиально к центру (считаем $V>0$). Внутри малой сферы поля нет.

Пусть электрон влетает в зазор на малом расстоянии $x$ от центральной оси. Напряженность электрического поля в зазоре:
$$E = \frac{V}{\Delta}$$

Поскольку электрон летит не по центру, поле имеет поперечную составляющую, перпендикулярную оси пучка:
$$E_\perp = E \sin\alpha$$

Для малых отклонений $\sin\alpha \approx \frac{x}{R}$, тогда:
$$E_\perp = \frac{V}{\Delta} \frac{x}{R}$$

Поперечная (фокусирующая) сила, действующая на электрон в первом зазоре:
$$F_\perp = eE_\perp = \frac{Vxe}{R\Delta}$$

Время прохождения зазора электроном:
$$dt = \frac{\Delta}{U}$$

Поперечный импульс, который приобретает электрон на входе:
$$p_{\perp 1} = F_\perp dt = \left( \frac{Vxe}{R\Delta} \right) \frac{\Delta}{U} = \frac{Vxe}{UR}$$

Проверим, где бы сфокусировался пучок, если бы не было второго зазора. Фокусное расстояние $f_1$:
$$f_1 = x \frac{mU}{p_{\perp 1}} = x \frac{mU}{\frac{Vxe}{UR}} = \frac{mU^2 R}{Ve}$$

Учитывая, что $mU^2 = 2eV_0$, получаем:
$$f_1 = \frac{2eV_0 R}{Ve} = 2R \frac{V_0}{V}$$

Так как по условию $V \ll V_0$, то $f_1 \gg 2R$. Это означает, что пучок не успеет сфокусироваться внутри полости и достигнет противоположного края внутренней оболочки практически на том же расстоянии $x$ от оси.

На выходе из системы пучок проходит через второй зазор $\Delta$. Поле снова направлено к центру, и электрон получает второй такой же поперечный импульс:
$$p_{\perp 2} = \frac{Vxe}{UR}$$

Суммарный поперечный импульс после вылета из системы:
$$p_\perp = p_{\perp 1} + p_{\perp 2} = \frac{2Vxe}{UR}$$

Угол отклонения пучка после вылета:
$$\theta \approx \frac{p_\perp}{mU} = \frac{2Vxe}{mU^2 R} = \frac{2Vxe}{2eV_0 R} = \frac{x}{R} \frac{V}{V_0}$$

Итоговое фокусное расстояние всей системы:
$$f = \frac{x}{\theta} = \frac{x}{\frac{x}{R} \frac{V}{V_0}} = R \frac{V_0}{V}$$