14.4.31∗. Электрон вращается в постоянном магнитном поле индукции $B$ , имея скорость $\vec{\beta} c$ . Включается электрическое поле $\vec{E}$ параллельно вектору скорости $\vec{\beta} c$ . Определите максимальную скорость электрона, которую он приобретает в скрещенном поле.
Решение
Поле $B$ направлено "из плоскости чертежа" (ось $z$), скорость электрона в момент включения поля лежит в плоскости орбиты и направлена вдоль $E$(ось $y$). Тогда $E \ \bot \ B$, и задачу удобно решать переходом в систему отсчёта, дрейфующую перпендикулярно обоим полям. Получаем систему координат: \begin{cases} B = B \hat{z}, \\ E = E \hat{y}, \\ v_0 = \beta c \hat{y} \end{cases}
Переходя в дрейфующую систему $K'$, известно, что при $E < cB$ существует система $K'$, движущаяся относительно лаборотной со скоростью: $$u = c \beta_E \ \hat{x} \ , \ \ \gamma_u = \frac{1}{\sqrt{1- \beta_E^2}} ,$$ в которой электрическое поле обращается в нуль, а остаётся только магнитное:
$$B' = \frac{B}{\gamma_u} = B \ \sqrt{1 - \beta_E ^2}$$.
В системе $K'$ электрон движется по окружности с постоянной по модулю скоростью $v'$ - она сохраняется, так как поле чисто магнитное.
По формулам сложения скоростей( буст вдоль $x$ на $u$, при $v_{0x} = 0, \ v_{oy} = \beta c ):$ $$v_x' = -u = -c \beta_E , \ \ v_y' = \frac{\beta c}{\gamma_u} = \beta c \sqrt{1- \beta_E^2} .$$ Здесь мы получаем модуль: $$\frac{v'}{c} = \beta' = \sqrt{\beta_E^2 + \beta^2 (1 - \beta_E^2)} .$$ Возращаемся в лабораторную систему. в $K'$ вектор скорости вращается по оркужности, оставаясь по модулю равной $v'$. При обратном переходе в лабораторную систему скорость электорна колеблется - она максимальна в момент, когда вектор $v'$ сонаправлен с дрейфовой скоростью $u$ (тогла скорости складываются коллинеарно, что даёт наибольший результат релятивиствкого сложения):
