Решение

Пусть в собсвтенной системе отсчёта конденстаор (где он покоится) поле между пластинами равно $E$, а длина пластин (собственная) равна $l$. Отклонение электрона сичтаем малым.

Случай 1:
Электрон летит со скоростью $\beta c$ вдоль пластин неподвижного конденсатора. В его системе -- только электрическое поле $E$ (магнитного нет, конденсатор покоится).
Время полета:
$$t_1 = \frac{l}{\beta c}$$
Приобретенный поперечный импульс:
$$p = e E t_1 = \frac{e E l}{\beta c} \ \ (1)$$
Продольная скорость электрона $( \beta c)$ много больше поперечной, поэтому полная скорость $\approx \beta c$, и
$$p = \gamma m v_1, \ \ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}$$
$$v_1 = \frac{p}{\gamma m} = \frac{p}{m} \sqrt{1- \beta^2} .$$

Случай 2:
Теперь конденсатор летит со скоростью $\beta c$ мимо покоящегося электрона. Перейдем к полям в системе электрона, преобразовав поля из системы конденсатора:
$$E_2 = \gamma E, \ \ B_2 = \frac{\gamma \beta E}{c}$$
(поперечное электрическое поле усиливается, и появляется магнитное).

Пластины при этом испытывают лоренцево сокращение: $l_2 = \frac{l}{\gamma}$.
Конденсатор пролетает мимо электрона за время:
$$t_2 = \frac{l_2}{\beta c} = \frac{l}{\gamma \beta c} = \frac{t_1}{\gamma}$$.
Электрон почти неподвижен (его скорость мала - эффект малого отклонения), поэтому магнитная сила $e \mathbf{v} \times \mathbf{B}$ пренебрежима мала (она первого порядка малости от $v$), и работает практически только электрическая сила:
$$F = e E_2 = \ e \gamma E$$
Импульс, полученный электроном:
$$p_2 = F \ t_2 = e \gamma E \cdot \frac{t_1}{\gamma} = e E t_1 = p$$
То есть поперечный импульс получается точно такой же, как и в первом случае. Усиление поля (в $\gamma$ раз) в точности компенсируется сокращением времени взаимодействия ( в $\gamma$ раз).
Поскольку теперь электрон почти покоится ( его скорость $v_2$ -- единственная и малая составляющая полной скорости), $\gamma_2 \approx 1:$
$$p_2 \approx m v_2 \Rightarrow \ v_2 \approx \frac{p}{m}$$
Сравняя скорости получаем:
$$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\frac{p}{m} \sqrt{1 - \beta^2}}{\frac{p}{m}} = \sqrt{1 - \beta^2} = \frac{1}{\gamma}$$