Решение

а. Плотность теплового потока

Тепловой поток возникает за счет того, что молекулы переносят кинетическую энергию из более нагретых слоев в менее нагретые.
Оценим среднюю тепловую скорость молекул вблизи поверхности Земли:
$$\langle v \rangle \sim \sqrt{\frac{k T_0}{m}}$$
где $k$ — постоянная Больцмана. Поскольку $\alpha h \ll T_0$, мы можем считать эту скорость характерной для всего рассматриваемого слоя.

В единицу времени через единичную площадку пролетает число молекул, пропорциональное $n \langle v \rangle$. Эти молекулы приносят энергию из слоя, находящегося на расстоянии длины свободного пробега $\lambda$. Разность температур между слоями, обменивающимися молекулами:
$$\Delta T \approx \frac{dT}{dh} \lambda = \alpha \lambda$$
Разница энергий, которую переносит одна молекула:
$$\Delta E \sim k \Delta T = k \alpha \lambda$$
Тогда плотность теплового потока $q$ оценивается как произведение потока частиц на переносимую разницу энергий:
$$q \sim n \langle v \rangle \Delta E \sim n \sqrt{\frac{k T_0}{m}} \cdot k \alpha \lambda = n \lambda k \alpha \sqrt{\frac{k T_0}{m}}$$

Зависимость от концентрации: Известно, что длина свободного пробега $\lambda$ обратно пропорциональна концентрации молекул ($\lambda \sim 1/n$). Следовательно, произведение $n \lambda$ остается постоянным.
Вывод: при увеличении числа молекул в единице объема плотность теплового потока не изменится.

б. Сравнение теплопроводностей

Коэффициент теплопроводности газа $\kappa$ определяется формулой кинетической теории:
$$\kappa \sim n \langle v \rangle \lambda c_1$$
где $c_1$ — теплоемкость одной молекулы. Так как водород ($H_2$) и воздух ($N_2, O_2$) являются двухатомными газами, теплоемкость одной молекулы у них одинакова ($c_1 = \frac{5}{2}k$).
Учитывая, что $\lambda \sim \frac{1}{n r^2}$ (где $r$ — радиус молекулы), концентрация $n$ сокращается:
$$\kappa \sim \langle v \rangle \frac{1}{r^2}$$
Тепловая скорость $\langle v \rangle$ обратно пропорциональна корню из молярной массы $\mu$ ($\langle v \rangle \sim 1/\sqrt{\mu}$). Итоговая зависимость:
$$\kappa \sim \frac{1}{r^2 \sqrt{\mu}}$$
Найдем отношение теплопроводностей водорода и воздуха. Молярная масса водорода $\mu_{H_2} \approx 2$ г/моль, молярная масса воздуха $\mu_{воздух} \approx 29$ г/моль:
$$\frac{\kappa_{H_2}}{\kappa_{воздух}} = \left( \frac{r_{воздух}}{r_{H_2}} \right)^2 \sqrt{\frac{\mu_{воздух}}{\mu_{H_2}}}$$
Подставляем численные значения:
$$\frac{\kappa_{H_2}}{\kappa_{воздух}} = \left( \frac{0.18}{0.14} \right)^2 \sqrt{\frac{29}{2}} = \left( \frac{9}{7} \right)^2 \sqrt{14.5} \approx 1.653 \cdot 3.808 \approx 6.3$$
Теплопроводность водорода больше примерно в $6.3$ раза.