Правка раздела «Условие»
ru/5.3.11.md
+1 −2
| @@ -1,7 +1,6 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $5.3.11.$ | ||
| − | <b>а.</b> Температура воздуха земной атмосферы линейно увеличивается с высотой $h$, $T = T_0 + \alpha h$. При этом относительное изменение температуры $\alpha h/T_0$ остается много меньше единицы. Длина свободного пробега молекул воздуха $\lambda$, масса каждой молекулы $m$, число молекул в единице объема воздуха $n$. Оцените плотность теплового потока на Землю. Изменится ли плотность этого потока, если число молекул в единице объема воздуха увеличится? | ||
| + | $5.3.11.$ <b>а.</b> Температура воздуха земной атмосферы линейно увеличивается с высотой $h$, $T = T_0 + \alpha h$. При этом относительное изменение температуры $\alpha h/T_0$ остается много меньше единицы. Длина свободного пробега молекул воздуха $\lambda$, масса каждой молекулы $m$, число молекул в единице объема воздуха $n$. Оцените плотность теплового потока на Землю. Изменится ли плотность этого потока, если число молекул в единице объема воздуха увеличится?\ | ||
| <b>б.</b> Во сколько раз теплопроводность водорода больше теплопроводности воздуха? Радиус молекул водорода $0{,}14$ нм, радиус молекул азота и кислорода $0{,}18$ нм. Температура газов одинакова. | |||
| ### Решение | |||
| <b>а. Плотность теплового потока</b><br> | |||
| Тепловой поток возникает за счет того, что молекулы переносят кинетическую энергию из более нагретых слоев в менее нагретые. | |||
| Оценим среднюю тепловую скорость молекул вблизи поверхности Земли: | |||
| $$ \langle v \rangle \sim \sqrt{\frac{k T_0}{m}} $$ | |||
| где $k$ — постоянная Больцмана. Поскольку $\alpha h \ll T_0$, мы можем считать эту скорость характерной для всего рассматриваемого слоя. | |||
| В единицу времени через единичную площадку пролетает число молекул, пропорциональное $n \langle v \rangle$. Эти молекулы приносят энергию из слоя, находящегося на расстоянии длины свободного пробега $\lambda$. Разность температур между слоями, обменивающимися молекулами: | |||
| $$ \Delta T \approx \frac{dT}{dh} \lambda = \alpha \lambda $$ | |||
| Разница энергий, которую переносит одна молекула: | |||
| $$ \Delta E \sim k \Delta T = k \alpha \lambda $$ | |||
| Тогда плотность теплового потока $q$ оценивается как произведение потока частиц на переносимую разницу энергий: | |||
| $$ q \sim n \langle v \rangle \Delta E \sim n \sqrt{\frac{k T_0}{m}} \cdot k \alpha \lambda = n \lambda k \alpha \sqrt{\frac{k T_0}{m}} $$ | |||
| <b>Зависимость от концентрации:</b> Известно, что длина свободного пробега $\lambda$ обратно пропорциональна концентрации молекул ($\lambda \sim 1/n$). Следовательно, произведение $n \lambda$ остается постоянным. | |||
| <i>Вывод:</i> при увеличении числа молекул в единице объема плотность теплового потока <b>не изменится</b>. | |||
| <b>б. Сравнение теплопроводностей</b><br> | |||
| Коэффициент теплопроводности газа $\kappa$ определяется формулой кинетической теории: | |||
| $$ \kappa \sim n \langle v \rangle \lambda c_1 $$ | |||
| где $c_1$ — теплоемкость одной молекулы. Так как водород ($H_2$) и воздух ($N_2, O_2$) являются двухатомными газами, теплоемкость одной молекулы у них одинакова ($c_1 = \frac{5}{2}k$). | |||
| Учитывая, что $\lambda \sim \frac{1}{n r^2}$ (где $r$ — радиус молекулы), концентрация $n$ сокращается: | |||
| $$ \kappa \sim \langle v \rangle \frac{1}{r^2} $$ | |||
| Тепловая скорость $\langle v \rangle$ обратно пропорциональна корню из молярной массы $\mu$ ($\langle v \rangle \sim 1/\sqrt{\mu}$). Итоговая зависимость: | |||
| $$ \kappa \sim \frac{1}{r^2 \sqrt{\mu}} $$ | |||
| Найдем отношение теплопроводностей водорода и воздуха. Молярная масса водорода $\mu_{H_2} \approx 2$ г/моль, молярная масса воздуха $\mu_{воздух} \approx 29$ г/моль: | |||
| $$ \frac{\kappa_{H_2}}{\kappa_{воздух}} = \left( \frac{r_{воздух}}{r_{H_2}} \right)^2 \sqrt{\frac{\mu_{воздух}}{\mu_{H_2}}} $$ | |||
| Подставляем численные значения: | |||
| $$ \frac{\kappa_{H_2}}{\kappa_{воздух}} = \left( \frac{0.18}{0.14} \right)^2 \sqrt{\frac{29}{2}} = \left( \frac{9}{7} \right)^2 \sqrt{14.5} \approx 1.653 \cdot 3.808 \approx 6.3 $$ | |||
| Теплопроводность водорода больше примерно в $6.3$ раза. | |||
| #### Ответ | |||
| <b>а.</b> $q \sim n \lambda k \alpha \sqrt{\frac{k T_0}{m}}$. Не изменится. | |||
| <b>б.</b> Примерно в $6.3$ раза. | |||
| ещё строк без изменений 34 | |||
| @@ -1,7 +1,6 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $5.3.11.$ | $5.3.11.$ <b>а.</b> Температура воздуха земной атмосферы линейно увеличивается с высотой $h$, $T = T_0 + \alpha h$. При этом относительное изменение температуры $\alpha h/T_0$ остается много меньше единицы. Длина свободного пробега молекул воздуха $\lambda$, масса каждой молекулы $m$, число молекул в единице объема воздуха $n$. Оцените плотность теплового потока на Землю. Изменится ли плотность этого потока, если число молекул в единице объема воздуха увеличится?\ | ||
| <b>а.</b> Температура воздуха земной атмосферы линейно увеличивается с высотой $h$, $T = T_0 + \alpha h$. При этом относительное изменение температуры $\alpha h/T_0$ остается много меньше единицы. Длина свободного пробега молекул воздуха $\lambda$, масса каждой молекулы $m$, число молекул в единице объема воздуха $n$. Оцените плотность теплового потока на Землю. Изменится ли плотность этого потока, если число молекул в единице объема воздуха увеличится? | |||
| <b>б.</b> Во сколько раз теплопроводность водорода больше теплопроводности воздуха? Радиус молекул водорода $0{,}14$ нм, радиус молекул азота и кислорода $0{,}18$ нм. Температура газов одинакова. | <b>б.</b> Во сколько раз теплопроводность водорода больше теплопроводности воздуха? Радиус молекул водорода $0{,}14$ нм, радиус молекул азота и кислорода $0{,}18$ нм. Температура газов одинакова. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| <b>а. Плотность теплового потока</b><br> | <b>а. Плотность теплового потока</b><br> | ||
| Тепловой поток возникает за счет того, что молекулы переносят кинетическую энергию из более нагретых слоев в менее нагретые. | Тепловой поток возникает за счет того, что молекулы переносят кинетическую энергию из более нагретых слоев в менее нагретые. | ||
| Оценим среднюю тепловую скорость молекул вблизи поверхности Земли: | Оценим среднюю тепловую скорость молекул вблизи поверхности Земли: | ||
| $$ \langle v \rangle \sim \sqrt{\frac{k T_0}{m}} $$ | $$ \langle v \rangle \sim \sqrt{\frac{k T_0}{m}} $$ | ||
| где $k$ — постоянная Больцмана. Поскольку $\alpha h \ll T_0$, мы можем считать эту скорость характерной для всего рассматриваемого слоя. | где $k$ — постоянная Больцмана. Поскольку $\alpha h \ll T_0$, мы можем считать эту скорость характерной для всего рассматриваемого слоя. | ||
| В единицу времени через единичную площадку пролетает число молекул, пропорциональное $n \langle v \rangle$. Эти молекулы приносят энергию из слоя, находящегося на расстоянии длины свободного пробега $\lambda$. Разность температур между слоями, обменивающимися молекулами: | В единицу времени через единичную площадку пролетает число молекул, пропорциональное $n \langle v \rangle$. Эти молекулы приносят энергию из слоя, находящегося на расстоянии длины свободного пробега $\lambda$. Разность температур между слоями, обменивающимися молекулами: | ||
| $$ \Delta T \approx \frac{dT}{dh} \lambda = \alpha \lambda $$ | $$ \Delta T \approx \frac{dT}{dh} \lambda = \alpha \lambda $$ | ||
| Разница энергий, которую переносит одна молекула: | Разница энергий, которую переносит одна молекула: | ||
| $$ \Delta E \sim k \Delta T = k \alpha \lambda $$ | $$ \Delta E \sim k \Delta T = k \alpha \lambda $$ | ||
| Тогда плотность теплового потока $q$ оценивается как произведение потока частиц на переносимую разницу энергий: | Тогда плотность теплового потока $q$ оценивается как произведение потока частиц на переносимую разницу энергий: | ||
| $$ q \sim n \langle v \rangle \Delta E \sim n \sqrt{\frac{k T_0}{m}} \cdot k \alpha \lambda = n \lambda k \alpha \sqrt{\frac{k T_0}{m}} $$ | $$ q \sim n \langle v \rangle \Delta E \sim n \sqrt{\frac{k T_0}{m}} \cdot k \alpha \lambda = n \lambda k \alpha \sqrt{\frac{k T_0}{m}} $$ | ||
| <b>Зависимость от концентрации:</b> Известно, что длина свободного пробега $\lambda$ обратно пропорциональна концентрации молекул ($\lambda \sim 1/n$). Следовательно, произведение $n \lambda$ остается постоянным. | <b>Зависимость от концентрации:</b> Известно, что длина свободного пробега $\lambda$ обратно пропорциональна концентрации молекул ($\lambda \sim 1/n$). Следовательно, произведение $n \lambda$ остается постоянным. | ||
| <i>Вывод:</i> при увеличении числа молекул в единице объема плотность теплового потока <b>не изменится</b>. | <i>Вывод:</i> при увеличении числа молекул в единице объема плотность теплового потока <b>не изменится</b>. | ||
| <b>б. Сравнение теплопроводностей</b><br> | <b>б. Сравнение теплопроводностей</b><br> | ||
| Коэффициент теплопроводности газа $\kappa$ определяется формулой кинетической теории: | Коэффициент теплопроводности газа $\kappa$ определяется формулой кинетической теории: | ||
| $$ \kappa \sim n \langle v \rangle \lambda c_1 $$ | $$ \kappa \sim n \langle v \rangle \lambda c_1 $$ | ||
| где $c_1$ — теплоемкость одной молекулы. Так как водород ($H_2$) и воздух ($N_2, O_2$) являются двухатомными газами, теплоемкость одной молекулы у них одинакова ($c_1 = \frac{5}{2}k$). | где $c_1$ — теплоемкость одной молекулы. Так как водород ($H_2$) и воздух ($N_2, O_2$) являются двухатомными газами, теплоемкость одной молекулы у них одинакова ($c_1 = \frac{5}{2}k$). | ||
| Учитывая, что $\lambda \sim \frac{1}{n r^2}$ (где $r$ — радиус молекулы), концентрация $n$ сокращается: | Учитывая, что $\lambda \sim \frac{1}{n r^2}$ (где $r$ — радиус молекулы), концентрация $n$ сокращается: | ||
| $$ \kappa \sim \langle v \rangle \frac{1}{r^2} $$ | $$ \kappa \sim \langle v \rangle \frac{1}{r^2} $$ | ||
| Тепловая скорость $\langle v \rangle$ обратно пропорциональна корню из молярной массы $\mu$ ($\langle v \rangle \sim 1/\sqrt{\mu}$). Итоговая зависимость: | Тепловая скорость $\langle v \rangle$ обратно пропорциональна корню из молярной массы $\mu$ ($\langle v \rangle \sim 1/\sqrt{\mu}$). Итоговая зависимость: | ||
| $$ \kappa \sim \frac{1}{r^2 \sqrt{\mu}} $$ | $$ \kappa \sim \frac{1}{r^2 \sqrt{\mu}} $$ | ||
| Найдем отношение теплопроводностей водорода и воздуха. Молярная масса водорода $\mu_{H_2} \approx 2$ г/моль, молярная масса воздуха $\mu_{воздух} \approx 29$ г/моль: | Найдем отношение теплопроводностей водорода и воздуха. Молярная масса водорода $\mu_{H_2} \approx 2$ г/моль, молярная масса воздуха $\mu_{воздух} \approx 29$ г/моль: | ||
| $$ \frac{\kappa_{H_2}}{\kappa_{воздух}} = \left( \frac{r_{воздух}}{r_{H_2}} \right)^2 \sqrt{\frac{\mu_{воздух}}{\mu_{H_2}}} $$ | $$ \frac{\kappa_{H_2}}{\kappa_{воздух}} = \left( \frac{r_{воздух}}{r_{H_2}} \right)^2 \sqrt{\frac{\mu_{воздух}}{\mu_{H_2}}} $$ | ||
| Подставляем численные значения: | Подставляем численные значения: | ||
| $$ \frac{\kappa_{H_2}}{\kappa_{воздух}} = \left( \frac{0.18}{0.14} \right)^2 \sqrt{\frac{29}{2}} = \left( \frac{9}{7} \right)^2 \sqrt{14.5} \approx 1.653 \cdot 3.808 \approx 6.3 $$ | $$ \frac{\kappa_{H_2}}{\kappa_{воздух}} = \left( \frac{0.18}{0.14} \right)^2 \sqrt{\frac{29}{2}} = \left( \frac{9}{7} \right)^2 \sqrt{14.5} \approx 1.653 \cdot 3.808 \approx 6.3 $$ | ||
| Теплопроводность водорода больше примерно в $6.3$ раза. | Теплопроводность водорода больше примерно в $6.3$ раза. | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| <b>а.</b> $q \sim n \lambda k \alpha \sqrt{\frac{k T_0}{m}}$. Не изменится. | <b>а.</b> $q \sim n \lambda k \alpha \sqrt{\frac{k T_0}{m}}$. Не изменится. | ||
| <b>б.</b> Примерно в $6.3$ раза. | <b>б.</b> Примерно в $6.3$ раза. | ||
| ещё строк без изменений 34 | |||