Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/14.3.27.md
+50 −3
| @@ -1,11 +1,58 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $14.3.27.$ | ||
| + | $14.3.27.$ | ||
| + | Когда-нибудь в космическом пространстве будут создаваться гигантские накопители электромагнитной энергии. Один из вариантов такого накопителя -- магнитоэлектрический плоский конденстаор, в котором разноименные электрические заряды, расположенные на пластинках, создают жлектрическое пооле напряженности $E$, а циркулярный ток сверхпроводящей подложки (изолированный от пластин) создает магнитное поле индукции $B$, равный по величине (в системе СГС) $E$. В таком конденсаторе магнитное поле, расталкивающее пластины, будет равно электрическому давлению, притягивающему пластины, и в целом коденсатор будет находиться в равновесии. Поэтому можно создать такие накопители очень больших размеров, так как они не требуют дополнительного крепежа. Докажите, что равновесие в накопителе не изменится при их движении как вдоль, так и поперек пластин. | ||
| + |  | ||
| ### Решение | |||
| − | . | ||
| + | Введем оси: $x$ -- направление от одной пластины к другой (вдоль $\mathbf{E}$), $y$ -- вертикальное направление в плоскости пластин (вдоль токов $j$), $z$ -- направление "из страниц" (вдоль $\mathbf{B}$). | ||
| + | Электрическое поле создает натяжение вдоль линий поля -- притяжение пластин с давлением | ||
| + | $$ P_E = \frac{E^2}{8 \pi} ,$$ | ||
| + | магнитное поле, перпендикулярное $x$, создает давление, расталкивающее пластины: | ||
| + | $$P_B = \frac{B^2}{8 \pi} .$$ | ||
| + | Результирующее "расталкивающее минус стягивающее" давление на пластину: | ||
| + | $$ P = \frac{B^2 - E^2}{8 \pi} = 0 , \ \text{так как} \ E = B $$ | ||
| + | Это и есть равновесие в системе отсчёта, где накопитель покоится. | ||
| + | |||
| + | Пусть в собственной системе отсчёта накопителя ($K$) суммарная жлектромагнитная сила, действующая на элемент пластины, равна нулю: | ||
| + | $F_{\parallel} = F_{\perp} = 0. $ | ||
| + | При переходе в любую другую инерциальную систему $K'$, движущуюся относительно $K$ со скоростью $V$, сила преобразуется линейно и однорродно: | ||
| + | $$ F_{\parallel}' = F_{\perp} , F_{\perp}' = \frac{F_{\perp}}{\gamma}. $$ | ||
| + | Так как правые части равны нулю, то и $F_{\parallel} = F_{\perp}' = 0. $ -- в любой системе отсчета, при любом направлении скорости движения накопителя как целого. Это уже доказывает утверждение задачи в общем виде: равновесие, отсутствующее "на пустом месте", не может возникнуть просто оттого, что мы придали системе скорость (или перешли в другую ИСО). | ||
| + | Дальше -- явная проверка полей, чтобы увидеть, как именно это происходит. | ||
| + | Движение вдоль пластин. | ||
| + | |||
| + | а) сокрость вдоль $B (v = v \hat{z}).$ | ||
| + | |||
| + | Так как $\mathbf{B} \parallel v, a \mathbf{E} \perp v:$ | ||
| + | $$E' = \gamma E, \mathbf{B'} = B \hat{z} - \gamma \beta E \hat{y}.$$ | ||
| + | Проверяем инвариантность: $E'^2 - B'^2 = \gamma ^2 E^2 - (B^2 + \gamma^2 \beta^2 E^2) = E^2 \left[ \gamma^2 (1- \beta^2)-1 \right] = 0, \text{т.е.} \ E' = B' \ \text{сохраняется.} $ | ||
| + | Подставляя в компоненты тензора натяжений Максвелла $T_{xx} = \frac{E_x^2 + B_x^2 - \frac{1}{2} (E^2 + B^2)}{4 \pi} $ и сдвиговые $T_{xy} , T_{xz},$ получаем: | ||
| + | $$ T_{xx}' = 0, \ \ T_{xy}' = 0, \ \ T_{xz}' = 0. $$ | ||
| + | Давление на пластины ( и все перекосы) строго нулевые -- равновесие сохраняется без каких-либо оговорок. | ||
| + | |||
| + | б) скорость вдоль тока $ \mathbf{j} (v = v \hat{y})$ | ||
| + | Здесь и $\mathbf{E}$, и $ \mathbf{B}$ целиком перпендикулярны $v$, а вычисление даёт: | ||
| + | $$ E' = \gamma (1 + \beta) E, / / B' = \gamma (1 + \beta) E, $$ | ||
| + | т.е. поля умножаются на один и тот же релятивистский допплер-множитель - $ \gamma (1 + \beta) $. | ||
| + | Равенство $E' = B'$ сохраняется точно, напраления полей не меняются -- снова $ T_{xx}' = T_{xy}' = T_{xz}' = 0. $ | ||
| + | |||
| + | Движение поперек пластин ($v = v \hat{z}$, вдоль Е ) | ||
| + | |||
| + | Здесь $ \mathbf{E} \parallel v, \ \mathbf{B} \perp v:$ | ||
| + | $$ \mathbf{E}' = E \hat{x} - \gamma \beta E \hat{y}, \ \ \mathbf{B} = \gamma E \hat{z}. $$ | ||
| + | |||
| + | Инвариант по-прежнему даёт $E'^2 = B'^2$ (легко прроверить), но геометрия усложняется: у $\mathbf{E}'$ появляется составляющая вдоль пластин. Если формально подставить эти поля в статическую формулу тензора натяжений, получится кажущийся ненулевой избыток | ||
| + | $$ T_{xx}' = - \frac{ \gamma^2 \beta^2 E^2}{4 \pi} \neq 0 .$$ | ||
| + | |||
| + | Это не ошибка равновесия, а признак того, что при движении поперек пластин сами токовые и зарядовые слои пробегают пространство в направлении х -- поле в фиксированной точке $K'$ перестает быть строго станционарным (границы внутри/снаружи конденстаор движутся). | ||
| + | Поэтому к статическому балансу натяжений нужно добавлять поток электромагнитного импульса $ \partial g'$ / $ \partial t' \ (\mathbf{g} = \mathbf{E} \times \mathbf{B}$ / $4 \pi c$ ), сосредоточенный как раз на движущихся пластинах. Этот вклад в точности компенсирует кажущийся избыток $ T_{xx}'$ -- иначе противоречил бы общему аргументу выше (сила, равная нулю в собственной системе, преобразуется однородно и остется нулевой). | ||
| + | |||
| + | Вывод: | ||
| + | Поскольку в собственной системе отсчёта накопителя суммарная сила на каждую пластину равна нулю (это и есть данное в условии равенство | ||
| + | E=B), а сила преобразуется линейно и однородно при переходе в любую другую инерциальную систему, равновесие накопителя не может нарушиться ни при движении вдоль пластин (это подтверждается прямым пересчётом полей — балансировка сохраняется покомпонентно и без каких-либо дополнительных членов), ни при движении поперёк пластин (здесь баланс сохраняется за счёт потока электромагнитного импульса, связанного с перемещением самих заряд-токовых слоёв, что согласуется с общим релятивистским принципом). Таким образом, дополнительного крепежа не требуется ни в покое, ни при любом равномерном движении накопителя как целого. | ||
| #### Ответ | |||
| + | Равновесие сохраняется при любом равномерном движении накопителя — как вдоль, так и поперёк пластин. | ||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| @@ -1,11 +1,58 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $14.3.27.$ |
$14.3.27.$ | ||
| Когда-нибудь в космическом пространстве будут создаваться гигантские накопители электромагнитной энергии. Один из вариантов такого накопителя -- магнитоэлектрический плоский конденстаор, в котором разноименные электрические заряды, расположенные на пластинках, создают жлектрическое пооле напряженности $E$, а циркулярный ток сверхпроводящей подложки (изолированный от пластин) создает магнитное поле индукции $B$, равный по величине (в системе СГС) $E$. В таком конденсаторе магнитное поле, расталкивающее пластины, будет равно электрическому давлению, притягивающему пластины, и в целом коденсатор будет находиться в равновесии. Поэтому можно создать такие накопители очень больших размеров, так как они не требуют дополнительного крепежа. Докажите, что равновесие в накопителе не изменится при их движении как вдоль, так и поперек пластин. | |||
|  | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| . | Введем оси: $x$ -- направление от одной пластины к другой (вдоль $\mathbf{E}$), $y$ -- вертикальное направление в плоскости пластин (вдоль токов $j$), $z$ -- направление "из страниц" (вдоль $\mathbf{B}$). | ||
| Электрическое поле создает натяжение вдоль линий поля -- притяжение пластин с давлением | |||
| $$ P_E = \frac{E^2}{8 \pi} ,$$ | |||
| магнитное поле, перпендикулярное $x$, создает давление, расталкивающее пластины: | |||
| $$P_B = \frac{B^2}{8 \pi} .$$ | |||
| Результирующее "расталкивающее минус стягивающее" давление на пластину: | |||
| $$ P = \frac{B^2 - E^2}{8 \pi} = 0 , \ \text{так как} \ E = B $$ | |||
| Это и есть равновесие в системе отсчёта, где накопитель покоится. | |||
| Пусть в собственной системе отсчёта накопителя ($K$) суммарная жлектромагнитная сила, действующая на элемент пластины, равна нулю: | |||
| $F_{\parallel} = F_{\perp} = 0. $ | |||
| При переходе в любую другую инерциальную систему $K'$, движущуюся относительно $K$ со скоростью $V$, сила преобразуется линейно и однорродно: | |||
| $$ F_{\parallel}' = F_{\perp} , F_{\perp}' = \frac{F_{\perp}}{\gamma}. $$ | |||
| Так как правые части равны нулю, то и $F_{\parallel} = F_{\perp}' = 0. $ -- в любой системе отсчета, при любом направлении скорости движения накопителя как целого. Это уже доказывает утверждение задачи в общем виде: равновесие, отсутствующее "на пустом месте", не может возникнуть просто оттого, что мы придали системе скорость (или перешли в другую ИСО). | |||
| Дальше -- явная проверка полей, чтобы увидеть, как именно это происходит. | |||
| Движение вдоль пластин. | |||
| а) сокрость вдоль $B (v = v \hat{z}).$ | |||
| Так как $\mathbf{B} \parallel v, a \mathbf{E} \perp v:$ | |||
| $$E' = \gamma E, \mathbf{B'} = B \hat{z} - \gamma \beta E \hat{y}.$$ | |||
| Проверяем инвариантность: $E'^2 - B'^2 = \gamma ^2 E^2 - (B^2 + \gamma^2 \beta^2 E^2) = E^2 \left[ \gamma^2 (1- \beta^2)-1 \right] = 0, \text{т.е.} \ E' = B' \ \text{сохраняется.} $ | |||
| Подставляя в компоненты тензора натяжений Максвелла $T_{xx} = \frac{E_x^2 + B_x^2 - \frac{1}{2} (E^2 + B^2)}{4 \pi} $ и сдвиговые $T_{xy} , T_{xz},$ получаем: | |||
| $$ T_{xx}' = 0, \ \ T_{xy}' = 0, \ \ T_{xz}' = 0. $$ | |||
| Давление на пластины ( и все перекосы) строго нулевые -- равновесие сохраняется без каких-либо оговорок. | |||
| б) скорость вдоль тока $ \mathbf{j} (v = v \hat{y})$ | |||
| Здесь и $\mathbf{E}$, и $ \mathbf{B}$ целиком перпендикулярны $v$, а вычисление даёт: | |||
| $$ E' = \gamma (1 + \beta) E, / / B' = \gamma (1 + \beta) E, $$ | |||
| т.е. поля умножаются на один и тот же релятивистский допплер-множитель - $ \gamma (1 + \beta) $. | |||
| Равенство $E' = B'$ сохраняется точно, напраления полей не меняются -- снова $ T_{xx}' = T_{xy}' = T_{xz}' = 0. $ | |||
| Движение поперек пластин ($v = v \hat{z}$, вдоль Е ) | |||
| Здесь $ \mathbf{E} \parallel v, \ \mathbf{B} \perp v:$ | |||
| $$ \mathbf{E}' = E \hat{x} - \gamma \beta E \hat{y}, \ \ \mathbf{B} = \gamma E \hat{z}. $$ | |||
| Инвариант по-прежнему даёт $E'^2 = B'^2$ (легко прроверить), но геометрия усложняется: у $\mathbf{E}'$ появляется составляющая вдоль пластин. Если формально подставить эти поля в статическую формулу тензора натяжений, получится кажущийся ненулевой избыток | |||
| $$ T_{xx}' = - \frac{ \gamma^2 \beta^2 E^2}{4 \pi} \neq 0 .$$ | |||
| Это не ошибка равновесия, а признак того, что при движении поперек пластин сами токовые и зарядовые слои пробегают пространство в направлении х -- поле в фиксированной точке $K'$ перестает быть строго станционарным (границы внутри/снаружи конденстаор движутся). | |||
| Поэтому к статическому балансу натяжений нужно добавлять поток электромагнитного импульса $ \partial g'$ / $ \partial t' \ (\mathbf{g} = \mathbf{E} \times \mathbf{B}$ / $4 \pi c$ ), сосредоточенный как раз на движущихся пластинах. Этот вклад в точности компенсирует кажущийся избыток $ T_{xx}'$ -- иначе противоречил бы общему аргументу выше (сила, равная нулю в собственной системе, преобразуется однородно и остется нулевой). | |||
| Вывод: | |||
| Поскольку в собственной системе отсчёта накопителя суммарная сила на каждую пластину равна нулю (это и есть данное в условии равенство | |||
| E=B), а сила преобразуется линейно и однородно при переходе в любую другую инерциальную систему, равновесие накопителя не может нарушиться ни при движении вдоль пластин (это подтверждается прямым пересчётом полей — балансировка сохраняется покомпонентно и без каких-либо дополнительных членов), ни при движении поперёк пластин (здесь баланс сохраняется за счёт потока электромагнитного импульса, связанного с перемещением самих заряд-токовых слоёв, что согласуется с общим релятивистским принципом). Таким образом, дополнительного крепежа не требуется ни в покое, ни при любом равномерном движении накопителя как целого. | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| Равновесие сохраняется при любом равномерном движении накопителя — как вдоль, так и поперёк пластин. | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | |||