Решение

Введем оси: $x$ -- направление от одной пластины к другой (вдоль $\mathbf{E}$), $y$ -- вертикальное направление в плоскости пластин (вдоль токов $j$), $z$ -- направление "из страниц" (вдоль $\mathbf{B}$).

Электрическое поле создает натяжение вдоль линий поля -- притяжение пластин с давлением
$$P_E = \frac{E^2}{8 \pi} ,$$
магнитное поле, перпендикулярное $x$, создает давление, расталкивающее пластины:
$$P_B = \frac{B^2}{8 \pi} .$$
Результирующее "расталкивающее минус стягивающее" давление на пластину:
$$P = \frac{B^2 - E^2}{8 \pi} = 0 , \ \text{так как} \ E = B$$
Это и есть равновесие в системе отсчёта, где накопитель покоится.

Пусть в собственной системе отсчёта накопителя ($K$) суммарная жлектромагнитная сила, действующая на элемент пластины, равна нулю:
$F_{\parallel} = F_{\perp} = 0.$
При переходе в любую другую инерциальную систему $K'$, движущуюся относительно $K$ со скоростью $V$, сила преобразуется линейно и однорродно:
$$F_{\parallel}' = F_{\perp} , F_{\perp}' = \frac{F_{\perp}}{\gamma}.$$
Так как правые части равны нулю, то и $F_{\parallel} = F_{\perp}' = 0.$ -- в любой системе отсчета, при любом направлении скорости движения накопителя как целого. Это уже доказывает утверждение задачи в общем виде: равновесие, отсутствующее "на пустом месте", не может возникнуть просто оттого, что мы придали системе скорость (или перешли в другую ИСО).
Дальше -- явная проверка полей, чтобы увидеть, как именно это происходит.
Движение вдоль пластин.

а) сокрость вдоль $B (v = v \hat{z}).$

Так как $\mathbf{B} \parallel v, a \mathbf{E} \perp v:$
$$E' = \gamma E, \mathbf{B'} = B \hat{z} - \gamma \beta E \hat{y}.$$
Проверяем инвариантность: $E'^2 - B'^2 = \gamma ^2 E^2 - (B^2 + \gamma^2 \beta^2 E^2) = E^2 \left[ \gamma^2 (1- \beta^2)-1 \right] = 0, \text{т.е.} \ E' = B' \ \text{сохраняется.}$
Подставляя в компоненты тензора натяжений Максвелла $T_{xx} = \frac{E_x^2 + B_x^2 - \frac{1}{2} (E^2 + B^2)}{4 \pi}$ и сдвиговые $T_{xy} , T_{xz},$ получаем:
$$T_{xx}' = 0, \ \ T_{xy}' = 0, \ \ T_{xz}' = 0.$$
Давление на пластины ( и все перекосы) строго нулевые -- равновесие сохраняется без каких-либо оговорок.

б) скорость вдоль тока $\mathbf{j} (v = v \hat{y})$
Здесь и $\mathbf{E}$, и $\mathbf{B}$ целиком перпендикулярны $v$, а вычисление даёт:
$$E' = \gamma (1 + \beta) E, / / B' = \gamma (1 + \beta) E,$$
т.е. поля умножаются на один и тот же релятивистский допплер-множитель - $\gamma (1 + \beta)$.
Равенство $E' = B'$ сохраняется точно, напраления полей не меняются -- снова $T_{xx}' = T_{xy}' = T_{xz}' = 0.$

Движение поперек пластин ($v = v \hat{z}$, вдоль Е )

Здесь $\mathbf{E} \parallel v, \ \mathbf{B} \perp v:$
$$\mathbf{E}' = E \hat{x} - \gamma \beta E \hat{y}, \ \ \mathbf{B} = \gamma E \hat{z}.$$

Инвариант по-прежнему даёт $E'^2 = B'^2$ (легко прроверить), но геометрия усложняется: у $\mathbf{E}'$ появляется составляющая вдоль пластин. Если формально подставить эти поля в статическую формулу тензора натяжений, получится кажущийся ненулевой избыток
$$T_{xx}' = - \frac{ \gamma^2 \beta^2 E^2}{4 \pi} \neq 0 .$$

Это не ошибка равновесия, а признак того, что при движении поперек пластин сами токовые и зарядовые слои пробегают пространство в направлении х -- поле в фиксированной точке $K'$ перестает быть строго станционарным (границы внутри/снаружи конденстаор движутся).
Поэтому к статическому балансу натяжений нужно добавлять поток электромагнитного импульса $\partial g'$ / $\partial t' \ (\mathbf{g} = \mathbf{E} \times \mathbf{B}$ / $4 \pi c$ ), сосредоточенный как раз на движущихся пластинах. Этот вклад в точности компенсирует кажущийся избыток $T_{xx}'$ -- иначе противоречил бы общему аргументу выше (сила, равная нулю в собственной системе, преобразуется однородно и остется нулевой).

Вывод:
Поскольку в собственной системе отсчёта накопителя суммарная сила на каждую пластину равна нулю (это и есть данное в условии равенство
E=B), а сила преобразуется линейно и однородно при переходе в любую другую инерциальную систему, равновесие накопителя не может нарушиться ни при движении вдоль пластин (это подтверждается прямым пересчётом полей — балансировка сохраняется покомпонентно и без каких-либо дополнительных членов), ни при движении поперёк пластин (здесь баланс сохраняется за счёт потока электромагнитного импульса, связанного с перемещением самих заряд-токовых слоёв, что согласуется с общим релятивистским принципом). Таким образом, дополнительного крепежа не требуется ни в покое, ни при любом равномерном движении накопителя как целого.