Решение

В системе отсчета, связанной с космическим кораблем, защитный слой толщиной $l$ неподвижен. Протоны ионосферы налетают на него перпендикулярно к поверхности со скоростью $\upsilon$. Так как тепловая скорость протонов много меньше $\upsilon$, их начальное движение можно считать строго направленным.

В системе отсчета корабля магнитное поле $\vec{B}$ постоянно во времени, поэтому оно не совершает работы над протоном. Это означает, что модуль его скорости $\upsilon$ и лоренц-фактор $\gamma$ остаются неизменными на протяжении всего движения в слое.

Второй закон Ньютона в системе СГС:

$$\frac{d \vec p}{dt}=\frac{e}{c}\left[ \vec\upsilon\times \vec B \right] \tag{1}$$

Релятивистский импульс: $\vec p=\gamma m_{e}\vec\upsilon$. Так как $\gamma=\text{const}$, то:

$$\frac{d \vec p}{dt}=\gamma m_{e}\frac{d \vec\upsilon}{dt} \tag{2}$$

Поскольку сила Лоренца всегда перпендикулярна вектору скорости, протон движется по дуге окружности с центростремительным ускорением:

$$\frac{d \vec\upsilon}{dt}=\frac{\upsilon^{2}}{R} \tag{3}$$

Подставим (2) и (3) в (1):

$$\gamma m_{e}\frac{\upsilon^{2}}{R}=\frac{e\upsilon B}{c}$$

Отсюда:

$$R=\frac{\gamma m_{e}\upsilon c}{eB}=\frac{m_{e}\upsilon c}{eB\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}} \tag{4}$$

Чтобы протон не достиг обшивки корабля, максимальная глубина его проникновения в магнитный слой не должна превышать толщину этого слоя:

$$l=R=\frac{m_{e}\upsilon c}{eB\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}}$$