| @@ -1,8 +1,8 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $14.4.26.$ Космический корабль входит в ионосферу Земли со скоростью $\upsilon$, которая много больше тепловых скоростей протонов ионосферы. Какой должна быть минимальная толщина магнитного экранного слоя, защищающая лобовую поверхность корабля от протонов, если магнитная индукция $B$ направлена параллельно поверхности? |
| $14.4.26.$ Космический корабль входит в ионосферу Земли со скоростью $\upsilon$, которая много больше тепловых скоростей протонов ионосферы. Какой должна быть минимальная толщина магнитного экранного слоя, защищающая лобовую поверхность корабля от протонов, если магнитная индукция $B$ направлена параллельно поверхности? |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| В системе отсчета, связанной с космическим кораблем, защитный слой толщиной $l$ неподвижен. Протоны ионосферы налетают на него перпендикулярно к поверхности со скоростью $\upsilon$. Так как тепловая скорость протонов много меньше $\upsilon$, их начальное движение можно считать строго направленным. | | В системе отсчета, связанной с космическим кораблем, защитный слой толщиной $l$ неподвижен. Протоны ионосферы налетают на него перпендикулярно к поверхности со скоростью $\upsilon$. Так как тепловая скорость протонов много меньше $\upsilon$, их начальное движение можно считать строго направленным. |
| | | |
| В системе отсчета корабля магнитное поле $\vec{B}$ постоянно во времени, поэтому оно не совершает работы над протоном. Это означает, что модуль его скорости $\upsilon$ и лоренц-фактор $\gamma$ остаются неизменными на протяжении всего движения в слое. | | В системе отсчета корабля магнитное поле $\vec{B}$ постоянно во времени, поэтому оно не совершает работы над протоном. Это означает, что модуль его скорости $\upsilon$ и лоренц-фактор $\gamma$ остаются неизменными на протяжении всего движения в слое. |
| | | |
| Второй закон Ньютона в системе СГС: | | Второй закон Ньютона в системе СГС: |
| | | |
| $$\frac{d \vec p}{dt}=\frac{e}{c}\left[ \vec\upsilon\times \vec B \right] \tag{1}$$ | | $$\frac{d \vec p}{dt}=\frac{e}{c}\left[ \vec\upsilon\times \vec B \right] \tag{1}$$ |
| | | |
| Релятивистский импульс: $\vec p=\gamma m_{e}\vec\upsilon$. Так как $\gamma=\text{const}$, то: | | Релятивистский импульс: $\vec p=\gamma m_{e}\vec\upsilon$. Так как $\gamma=\text{const}$, то: |
| | | |
| $$\frac{d \vec p}{dt}=\gamma m_{e}\frac{d \vec\upsilon}{dt} \tag{2}$$ | | $$\frac{d \vec p}{dt}=\gamma m_{e}\frac{d \vec\upsilon}{dt} \tag{2}$$ |
| | | |
| Поскольку сила Лоренца всегда перпендикулярна вектору скорости, протон движется по дуге окружности с центростремительным ускорением: | | Поскольку сила Лоренца всегда перпендикулярна вектору скорости, протон движется по дуге окружности с центростремительным ускорением: |
| | | |
| $$\frac{d \vec\upsilon}{dt}=\frac{\upsilon^{2}}{R} \tag{3}$$ | | $$\frac{d \vec\upsilon}{dt}=\frac{\upsilon^{2}}{R} \tag{3}$$ |
| | | |
| Подставим (2) и (3) в (1): | | Подставим (2) и (3) в (1): |
| | | |
| $$\gamma m_{e}\frac{\upsilon^{2}}{R}=\frac{e\upsilon B}{c}$$ | | $$\gamma m_{e}\frac{\upsilon^{2}}{R}=\frac{e\upsilon B}{c}$$ |
| | | |
| Отсюда: | | Отсюда: |
| | | |
| $$R=\frac{\gamma m_{e}\upsilon c}{eB}=\frac{m_{e}\upsilon c}{eB\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}} \tag{4}$$ | | $$R=\frac{\gamma m_{e}\upsilon c}{eB}=\frac{m_{e}\upsilon c}{eB\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}} \tag{4}$$ |
| | | |
| Чтобы протон не достиг обшивки корабля, максимальная глубина его проникновения в магнитный слой не должна превышать толщину этого слоя: | | Чтобы протон не достиг обшивки корабля, максимальная глубина его проникновения в магнитный слой не должна превышать толщину этого слоя: |
| | | |
| $$l=R=\frac{m_{e}\upsilon c}{eB\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}}$$ | | $$l=R=\frac{m_{e}\upsilon c}{eB\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}}$$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$l=\frac{m_{e}\upsilon c}{eB\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}}$$ | | $$l=\frac{m_{e}\upsilon c}{eB\sqrt{1-\frac{\upsilon^{2}}{c^{2}}}}$$ |
