Решение

$\textbf{а.}$ Буду решать задачу в системе СГС. Для определения связи между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и напряженностью электрического поля $\vec{E}$ воспользуемся условием равенства нулю полной силы Лоренца, действующей на движущийся заряд в новой системе отсчета:

$$\vec F=q\vec E+\frac{q}{c}\left[ \vec\upsilon\times \vec B \right]=0$$

Учитывая, что $\vec\beta=\frac{\vec\upsilon}{c}$, получим:

$$\boxed{\vec E=-\left[ \vec\beta\times \vec B \right]}$$

$\textbf{б.}$ Пусть в системе отсчета $K$ источник магнитного поля покоится. В этой системе есть только магнитное поле $\vec B$, а электрическое поле отсутствует $\vec E=0$. Система отсчета $K^{'}$ движется относительно системы $K$ со скоростью $\vec\upsilon=\vec\beta c$.

Формулы преобразования компонентов магнитного поля при переходе из системы $K$ в систему $K^{'}$ имеют вид:

параллельная компонента (вдоль направления движения $\vec\beta$):

$$\vec B_{\parallel }^{'}=\vec B_{\parallel }$$

перпендикулярная компонента (поперек направления движения $\vec\beta$):

$$\vec B_{\bot}^{'}=\gamma\left( \vec B_{\bot }-\left[ \vec\beta\times \vec E \right] \right)$$

Лоренц-фактор $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$.

По условию, в исходной системе $K$ электрическое поле $\vec E=0$, тогда:

$$\vec B_{\bot}^{'}=\gamma\vec B_{\bot }=\frac{\vec B_{\bot }}{\sqrt{1-\beta^{2}}}$$

По условию $\beta\ll 1$, тогда разложим в ряд Тейлора по малому параметру $\beta$ и ограничимся двумя первыми слогаемыми:

$$\vec B_{\bot}^{'}\approx \left( 1+\frac{1}{2}\beta^{2} \right)\vec B_{\bot }=\vec B_{\bot }+\frac{1}{2}\beta^{2}\vec B_{\bot }$$

Полный вектор магнитного поля в движущейся системе:

$$\vec B^{'}=\vec B_{\parallel }^{'}+\vec B_{\bot }^{'}=\vec B_{\parallel }+\vec B_{\bot }+\frac{1}{2}\beta^{2}\vec B_{\bot }$$

Так как $\vec{B}_{\parallel}+\vec{B}_{\bot} = \vec{B}$ исходное поле, получаем:

$$\vec B^{'}=\vec B+\frac{1}{2}\beta^{2}\vec B_{\bot }\approx \vec B$$

Опять же из-за малости $\beta$.

В движущемся состоянии на заряд действует нулевая сила Лоренца:

$$\vec E+\left[\vec\beta\times \vec B^{'} \right]=0\Rightarrow \vec E=-\left[\vec\beta\times \vec B^{'} \right]\approx -\left[\vec\beta\times \vec B \right]$$

$\textbf{в.}$ Разберём точку зрения экспериментатора 1 (неподвижная система отсчета $K$). Для него платформа с магнитом движется вправо со скоростью $\vec\upsilon=\vec\beta c$, а заряд $q$ покоится.

Движущийся магнит создает в пространстве не только магнитное поле, но и индуцированное электрическое поле:

$$\vec E\approx -\left[\vec\beta\times \vec B \right]$$

Так как в системе $K$ заряд неподвижен, магнитная составляющая силы Лоренца на него не действует. Сила обусловлена исключительно возникшим электрическим полем:

$$\vec F_{1}=q\vec E=-q\left[\vec\beta\times \vec B \right]$$

Теперь разберём точку зрения экспериментатора 2 (система отсчета $K^{'}$, связанная с магнитом). Для него магнит покоится, а экспериментатор 1 вместе со своим зарядом $q$ движется влево со скоростью $\vec\upsilon^{'}=-\vec\beta c$.

Поскольку источник магнитного поля неподвижен, никакого электрического поля в системе $K^{'}$ нет $\vec E^{'}=0$. Существует только исходное магнитное поле $\vec{B}$.

Сила Лоренца в данном случае является чисто магнитной, так как заряд движется со скоростью $\vec\upsilon^{'}$ в магнитном поле $\vec B$:

$$\vec F_{2}=\frac{q}{c}\left[\vec\upsilon^{'}\times \vec B \right]=\frac{q}{c}\left[-\vec\beta c\times \vec B \right]=-q\left[\vec\beta\times \vec B \right]$$

Поскольку при малых скоростях $\beta \ll 1$ силы в обеих системах отсчета совпадают $\vec F_{1}=\vec F_{2}$, физический результат эксперимента одинаков. Разница лишь в трактовке природы этой силы. Физический закон инвариантен, и правы оба наблюдателя.