Новое решение

igor правка от 29 сент. 2026 г., 08:19

правка #22150 позже →

ru/7.2.12.md +101 −0

		@@ -0,0 +1,101 @@
		+	### Условие
		+
		+	$7.2.12.$ Один электрод плоского конденсатора является эмиттером электронов, другой состоит из параллельных проволок, промежутки между которыми существенно меньше расстояния $d$ между электродами. Разность потенциалов между электродами $V$. Определите разброс электронов, прошедших второй электрод, по «поперечной» энергии, если промежуток между осями проволоками $a$, а их толщина $b$. Начальной скоростью электронов пренебречь.
		+
		+
		+	### Решение
		+
		+	<strong>Замечание.</strong> В новоим издании в условие добавлено, что $a$ есть промежуток между <i>осями</i> проволок! Добавлено также в этом условии.
		+
		+	Решение основано на идее решения задачи $7.2.6$ про связи суммы элементарных приращений поперечного импульса с потоком напряженности и теоремой Гаусса.
		+
		+	Считаем, что нужно найти максимальную поперечную кинетическую энергию $\Delta E_{k\perp\text{max}}$, то есть с максимальной поперечной скоростью.
		+
		+	Считаем, что поле искривляется на вблизи плоскости проволок на расстоянии от этой плоскости много меньшем $d$. Поэтому электрон приходит в эту область практически с продольной скоростью (вдоль основного поля конденсатора) из связи $2eV = mv^2$.
		+
		+	В то же время считаем, что область искривления поля имеет длину вдоль основного поля много большую, чем промежуток между осями $a$ (полагаем $a\sim b$). При таком положении электрон движется в области искривления поля почти с сохранением начальной продольной скорости влета (вдоль основного поля).
		+
		+	Сначала выведем формулу для приобретаемого поперечного импульса $\Delta p_\perp$.
		+
		+
		+	#### Поперечный импульс
		+
		+	Поперечный импульс приобретается в области искривления поля. Интересуют только электроны влетающие так, чтобы не врезаться в проволоку.
		+
		+	Пусть электрон движется так, что его невозмущенная траектория проходит на расстоянии $y$ от середины промежутка между проволоками, а длина, которую он проходит в искривленном поле, представляет собой примерно отрезок и оборзначается $\chi$.
		+
		+	Тогда изменение импульса поперечного в искривленном поле
		+
		+	$$
		+	\Delta p_\perp = \int\limits_\chi E_\perp e\,dt,
		+	$$
		+
		+	где $E_\perp$ есть поперечная составляющая поля в искривленном поле (эта составляющая коллинеарна оси лежащей в плоскости проволок перпендикулярно им; в другом измерении, перпендикулярном продольному основному полю, нет поперечной составляющей из отсутствия различия распределения зарядов в обе стороны по такому измерению), $dt$ есть элемент времени движения по длине $\chi$.
		+
		+	С учетом $dt = dx/v$ ($dx$ есть элемент длины $\chi$) предыдущее переписывается
		+
		+	$$
		+	\boxed{\Delta p_\perp = \frac{e}{v}\int\limits_\chi E_\perp e\,dx.}
		+	$$
		+
		+
		+	#### Теорема Гаусса
		+
		+	Интеграл или сумма в предыдущей формуле близка к понятию потока напряженности. Теорема Гаусса связывает просто потоки напряженности в симметричных случаях и дает, соответственно, в таких случаях искомые напряженности.
		+
		+	Представим, что электрон движется по $\chi$ как по грани параллелепипеда (далее называется фигурой). Опишем эту фигуру для использования теоремы Гаусса.
		+
		+	Одна грань фигуры лежит в плоскости проволок <i>между проволоками на равном расстоянии от них</i>, ее ребра параллельны и перепендикулярны проволокам. Еще $4$ грани лежат праллельно продольной скорости (основному продольному полю). И еще грань замыкает фигуру и располагается на расстоянии $\chi$ от плоскости проволок (то есть там где поле только начинает плавно искривляться).
		+
		+	Размеры фигуры $y$ вдоль оси в плоскости проволок и перепендикулярной им, $\chi$ вдоль движения электрона, $z$ вдоль проволок.
		+
		+	По теореме Гаусса для этой фигуры
		+
		+	$$
		+	\boxed{\frac{V}{d}yz = 2z\int\limits_\chi E_\perp e\,dx,}
		+	$$
		+
		+	то есть по отсутствию заряда внутри фигуры модуль потока напряженности через грань на расстоянии $\chi$ от плоскости проволок равен модулю потока напряженности через две(!) грани, имеющие поперечную составляющую поля через грани.
		+
		+
		+	#### Итог
		+
		+	Для поперечного импульса с учетом результата по теореме Гаусса
		+
		+	$$
		+	\Delta p = \frac{e}{v}\frac{Vy}{2d},
		+	$$
		+
		+	и для него нужно найти максимум (тогда будет максимум и у поперечной кин. энергии)
		+
		+	Максимизировать можем только $y$, что дает
		+
		+	$$
		+	y_\max = a - b.
		+	$$
		+
		+	Тогда с учетом
		+
		+	$$
		+	\Delta E_{k\perp\text{max}} = \frac{\Delta p_\perp^2}{2m}
		+	$$
		+
		+	получаем ответ
		+
		+	$$
		+	\Delta E_{k\perp\text{max}} = \frac{eV\left(a - b\right)^2}{16d^2}.
		+	$$
		+
		+	Как видно, это второй порядок малости по сравнению с энергией кинетической, с которой подлетает к проволокам электрон в такой модели ($a - b \ll d$).
		+
		+
		+	#### Литература
		+
		+	[0] Савченко О.Я. Задачи по физике. 2008 (1981).
		+
		+
		+	#### Ответ
		+
		+	$$
		+	\Delta E_{k\perp\text{max}} = \frac{eV\left(a - b\right)^2}{16d^2}.
		+	$$

	@@ -0,0 +1,101 @@
			### Условие

			$7.2.12.$ Один электрод плоского конденсатора является эмиттером электронов, другой состоит из параллельных проволок, промежутки между которыми существенно меньше расстояния $d$ между электродами. Разность потенциалов между электродами $V$. Определите разброс электронов, прошедших второй электрод, по «поперечной» энергии, если промежуток между осями проволоками $a$, а их толщина $b$. Начальной скоростью электронов пренебречь.


			### Решение

			<strong>Замечание.</strong> В новоим издании в условие добавлено, что $a$ есть промежуток между <i>осями</i> проволок! Добавлено также в этом условии.

			Решение основано на идее решения задачи $7.2.6$ про связи суммы элементарных приращений поперечного импульса с потоком напряженности и теоремой Гаусса.

			Считаем, что нужно найти максимальную поперечную кинетическую энергию $\Delta E_{k\perp\text{max}}$, то есть с максимальной поперечной скоростью.

			Считаем, что поле искривляется на вблизи плоскости проволок на расстоянии от этой плоскости много меньшем $d$. Поэтому электрон приходит в эту область практически с продольной скоростью (вдоль основного поля конденсатора) из связи $2eV = mv^2$.

			В то же время считаем, что область искривления поля имеет длину вдоль основного поля много большую, чем промежуток между осями $a$ (полагаем $a\sim b$). При таком положении электрон движется в области искривления поля почти с сохранением начальной продольной скорости влета (вдоль основного поля).

			Сначала выведем формулу для приобретаемого поперечного импульса $\Delta p_\perp$.


			#### Поперечный импульс

			Поперечный импульс приобретается в области искривления поля. Интересуют только электроны влетающие так, чтобы не врезаться в проволоку.

			Пусть электрон движется так, что его невозмущенная траектория проходит на расстоянии $y$ от середины промежутка между проволоками, а длина, которую он проходит в искривленном поле, представляет собой примерно отрезок и оборзначается $\chi$.

			Тогда изменение импульса поперечного в искривленном поле

			$$
			\Delta p_\perp = \int\limits_\chi E_\perp e\,dt,
			$$

			где $E_\perp$ есть поперечная составляющая поля в искривленном поле (эта составляющая коллинеарна оси лежащей в плоскости проволок перпендикулярно им; в другом измерении, перпендикулярном продольному основному полю, нет поперечной составляющей из отсутствия различия распределения зарядов в обе стороны по такому измерению), $dt$ есть элемент времени движения по длине $\chi$.

			С учетом $dt = dx/v$ ($dx$ есть элемент длины $\chi$) предыдущее переписывается

			$$
			\boxed{\Delta p_\perp = \frac{e}{v}\int\limits_\chi E_\perp e\,dx.}
			$$


			#### Теорема Гаусса

			Интеграл или сумма в предыдущей формуле близка к понятию потока напряженности. Теорема Гаусса связывает просто потоки напряженности в симметричных случаях и дает, соответственно, в таких случаях искомые напряженности.

			Представим, что электрон движется по $\chi$ как по грани параллелепипеда (далее называется фигурой). Опишем эту фигуру для использования теоремы Гаусса.

			Одна грань фигуры лежит в плоскости проволок <i>между проволоками на равном расстоянии от них</i>, ее ребра параллельны и перепендикулярны проволокам. Еще $4$ грани лежат праллельно продольной скорости (основному продольному полю). И еще грань замыкает фигуру и располагается на расстоянии $\chi$ от плоскости проволок (то есть там где поле только начинает плавно искривляться).

			Размеры фигуры $y$ вдоль оси в плоскости проволок и перепендикулярной им, $\chi$ вдоль движения электрона, $z$ вдоль проволок.

			По теореме Гаусса для этой фигуры

			$$
			\boxed{\frac{V}{d}yz = 2z\int\limits_\chi E_\perp e\,dx,}
			$$

			то есть по отсутствию заряда внутри фигуры модуль потока напряженности через грань на расстоянии $\chi$ от плоскости проволок равен модулю потока напряженности через две(!) грани, имеющие поперечную составляющую поля через грани.


			#### Итог

			Для поперечного импульса с учетом результата по теореме Гаусса

			$$
			\Delta p = \frac{e}{v}\frac{Vy}{2d},
			$$

			и для него нужно найти максимум (тогда будет максимум и у поперечной кин. энергии)

			Максимизировать можем только $y$, что дает

			$$
			y_\max = a - b.
			$$

			Тогда с учетом

			$$
			\Delta E_{k\perp\text{max}} = \frac{\Delta p_\perp^2}{2m}
			$$

			получаем ответ

			$$
			\Delta E_{k\perp\text{max}} = \frac{eV\left(a - b\right)^2}{16d^2}.
			$$

			Как видно, это второй порядок малости по сравнению с энергией кинетической, с которой подлетает к проволокам электрон в такой модели ($a - b \ll d$).


			#### Литература

			[0] Савченко О.Я. Задачи по физике. 2008 (1981).


			#### Ответ

			$$
			\Delta E_{k\perp\text{max}} = \frac{eV\left(a - b\right)^2}{16d^2}.
			$$