Новое решение

Valter правка от
Посмотреть решение История
правка #22174
ru/14.3.8.md +876 −0
@@ -0,0 +1,876 @@
+### Условие
+
+$14.3.8.$ а. Формула преобразования полей $\vec E$ и $\vec B$ при движении их со скоростью $\vec\beta c$ имеет следующий вид: $\vec E\,' = \vec E_\parallel + \gamma(\vec E_\perp - [\vec\beta \times \vec B])$, $\vec B\,' = \vec B_\parallel + \gamma(\vec B_\perp + [\vec\beta \times \vec E])$, $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}$, где $\vec E\,'$ и $\vec B\,'$ — электрические и магнитные поля в сносе; $\vec E_\parallel$, $\vec E_\perp$ и $\vec B_\parallel$, $\vec B_\perp$ — составляющие электрических и магнитных полей, параллельные и перпендикулярные $c\vec\beta$ в начальной системе. Движение полей $\vec E\,'$ и $\vec B\,'$ со скоростью $-c\beta$ возвращает прежнее состояние. Проверьте это.
+в. Используя приведенные в пункте а формулы преобразования полей, решите задачи 14.3.1–14.3.3, 14.3.5$^{*)}$.
+г. Используя приведенные в пункте а формулы преобразований полей, решите задачи 14.3.6 а, б и 14.3.7.
+д. Докажите, что при $\beta \to 1$ поля $\vec E\,'$ и $\vec B\,'$ перпендикулярны.
+
+### Решение
+
+Введём обозначения
+
+$$
+\boldsymbol{\beta}=\frac{\mathbf v}{c},\qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.
+$$
+
+Составляющие электрического и магнитного полей, параллельные и перпендикулярные направлению $\boldsymbol{\beta}$, обозначим соответственно индексами $\parallel$ и $\perp$.
+
+По условию преобразования полей имеют вид
+
+$$
+\mathbf E'=\mathbf E_{\parallel}+\gamma\left(\mathbf E_{\perp}-[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B]\right),
+$$
+
+$$
+\mathbf B'=\mathbf B_{\parallel}+\gamma\left(\mathbf B_{\perp}+[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E]\right).
+$$
+
+---
+
+#### а) Проверка обратимости преобразований
+
+Сначала преобразуем поля при движении со скоростью $c\boldsymbol{\beta}$.
+
+Параллельные составляющие не изменяются:
+
+$$
+\mathbf E'_{\parallel}=\mathbf E_{\parallel},\qquad \mathbf B'_{\parallel}=\mathbf B_{\parallel}.
+$$
+
+Поперечные составляющие равны
+
+$$
+\mathbf E'_{\perp}=\gamma\left(\mathbf E_{\perp}-[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B]\right),
+$$
+
+$$
+\mathbf B'_{\perp}=\gamma\left(\mathbf B_{\perp}+[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E]\right).
+$$
+
+Теперь совершим обратное преобразование, то есть сообщим состоянию скорость $-c\boldsymbol{\beta}$.
+
+Для электрического поля получаем
+
+$$
+\mathbf E''_{\perp}=\gamma\left(\mathbf E'_{\perp}+[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B']\right).
+$$
+
+Поскольку параллельная составляющая $\mathbf B'_{\parallel}$ не даёт вклада в векторное произведение,
+
+$$
+[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B']=\gamma\left([\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B_{\perp}]+[\boldsymbol{\beta}\times[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E]]\right).
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+\mathbf E''_{\perp}=\gamma^2\left(\mathbf E_{\perp}-[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B_{\perp}]+[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B_{\perp}]+[\boldsymbol{\beta}\times[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E]]\right).
+$$
+
+Слагаемые с $\mathbf B_{\perp}$ сокращаются:
+
+$$
+\mathbf E''_{\perp}=\gamma^2\left(\mathbf E_{\perp}+[\boldsymbol{\beta}\times[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E]]\right).
+$$
+
+Используем тождество
+
+$$
+[\mathbf a\times[\mathbf a\times\mathbf b]]=\mathbf a(\mathbf a\cdot\mathbf b)-a^2\mathbf b.
+$$
+
+Так как вектор $\mathbf E_{\perp}$ перпендикулярен $\boldsymbol{\beta}$,
+
+$$
+[\boldsymbol{\beta}\times[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E]]=-\beta^2\mathbf E_{\perp}.
+$$
+
+Поэтому
+
+$$
+\mathbf E''_{\perp}=\gamma^2(1-\beta^2)\mathbf E_{\perp}.
+$$
+
+Но
+
+$$
+\gamma^2(1-\beta^2)=1,
+$$
+
+следовательно,
+
+$$
+\mathbf E''_{\perp}=\mathbf E_{\perp}.
+$$
+
+Параллельная составляющая при обоих преобразованиях остаётся неизменной:
+
+$$
+\mathbf E''_{\parallel}=\mathbf E_{\parallel}.
+$$
+
+Таким образом,
+
+$$
+\boxed{\mathbf E''=\mathbf E}.
+$$
+
+Аналогично для магнитного поля:
+
+$$
+\mathbf B''_{\perp}=\gamma\left(\mathbf B'_{\perp}-[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E']\right),
+$$
+
+откуда после подстановки выражений для $\mathbf B'_{\perp}$ и $\mathbf E'$ получаем
+
+$$
+\mathbf B''_{\perp}=\gamma^2\left(\mathbf B_{\perp}+[\boldsymbol{\beta}\times[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B]]\right).
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+\mathbf B''_{\perp}=\gamma^2(1-\beta^2)\mathbf B_{\perp}=\mathbf B_{\perp}.
+$$
+
+Кроме того,
+
+$$
+\mathbf B''_{\parallel}=\mathbf B_{\parallel}.
+$$
+
+Поэтому
+
+$$
+\boxed{\mathbf B''=\mathbf B}.
+$$
+
+Таким образом, два последовательных преобразования со скоростями $c\boldsymbol{\beta}$ и $-c\boldsymbol{\beta}$ действительно возвращают исходные электрическое и магнитное поля.
+
+---
+
+### в) Применение формул преобразования
+
+#### Задача 14.3.1
+
+В собственной системе отсчёта конденсатора магнитного поля нет:
+
+$$
+\mathbf B=0.
+$$
+
+Конденсатор движется параллельно пластинам, тогда как электрическое поле направлено перпендикулярно им. Следовательно,
+
+$$
+\mathbf E\perp\boldsymbol{\beta}.
+$$
+
+Поэтому
+
+$$
+\mathbf E_{\parallel}=0,\qquad \mathbf E_{\perp}=\mathbf E.
+$$
+
+Формула преобразования электрического поля принимает вид
+
+$$
+\mathbf E'=\gamma\mathbf E.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+\boxed{E'=\gamma E}.
+$$
+
+Из-за лоренцева сокращения размеры пластин в направлении движения уменьшаются в $\gamma$ раз. Заряд каждой пластины остаётся неизменным, поэтому её поверхностная плотность заряда возрастает в $\gamma$ раз:
+
+$$
+\boxed{\sigma'=\gamma\sigma}.
+$$
+
+Магнитное поле в движущейся системе равно
+
+$$
+\mathbf B'=\gamma[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E].
+$$
+
+Так как $\mathbf E'=\gamma\mathbf E$,
+
+$$
+\boxed{\mathbf B'=[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E']}.
+$$
+
+По модулю
+
+$$
+\boxed{B'=\beta E'=\gamma\beta E}.
+$$
+
+Итак,
+
+$$
+\boxed{\sigma'=\gamma\sigma,\qquad E'=\gamma E,\qquad B'=\beta E'}.
+$$
+
+---
+
+#### Задача 14.3.2
+
+Теперь скорость конденсатора направлена под углом $\alpha$ к плоскости пластин.
+
+Электрическое поле перпендикулярно пластинам. Поэтому угол между $\mathbf E$ и направлением движения равен $90^\circ-\alpha$.
+
+Разложим поле на составляющие относительно $\boldsymbol{\beta}$:
+
+$$
+E_{\parallel}=E\sin\alpha,
+$$
+
+$$
+E_{\perp}=E\cos\alpha.
+$$
+
+Параллельная составляющая при преобразовании не изменяется:
+
+$$
+\boxed{E'_{\parallel}=E\sin\alpha}.
+$$
+
+Поперечная составляющая увеличивается в $\gamma$ раз:
+
+$$
+\boxed{E'_{\perp}=\gamma E\cos\alpha}.
+$$
+
+Следовательно, полный модуль электрического поля равен
+
+$$
+E'=\sqrt{E_{\parallel}'^{\,2}+E_{\perp}'^{\,2}}.
+$$
+
+Поэтому
+
+$$
+\boxed{E'=E\sqrt{\sin^2\alpha+\gamma^2\cos^2\alpha}}.
+$$
+
+Магнитное поле возникает вследствие преобразования электрического поля:
+
+$$
+\mathbf B'=\gamma[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E].
+$$
+
+По модулю
+
+$$
+\boxed{B'=\gamma\beta E\cos\alpha}.
+$$
+
+Так как
+
+$$
+E'_{\perp}=\gamma E\cos\alpha,
+$$
+
+имеем
+
+$$
+\boxed{B'=\beta E'_{\perp}}.
+$$
+
+В векторной форме связь особенно проста:
+
+$$
+\boxed{\mathbf B'=[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E']}.
+$$
+
+Если требуется также поверхностная плотность заряда, то площадь движущейся пластины изменяется по закону
+
+$$
+S'=S\sqrt{1-\beta^2\cos^2\alpha}.
+$$
+
+Поскольку заряд пластины инвариантен,
+
+$$
+\boxed{\sigma'=\frac{\sigma}{\sqrt{1-\beta^2\cos^2\alpha}}}.
+$$
+
+При $\alpha=0$ получаем $\sigma'=\gamma\sigma$, как в задаче 14.3.1, а при $\alpha=90^\circ$ площадь пластины не испытывает лоренцева сокращения и $\sigma'=\sigma$.
+
+---
+
+#### Задача 14.3.3
+
+Пусть $\rho$ — заряд на единицу длины неподвижной нити.
+
+В системе, где нить неподвижна, магнитного поля нет, а электрическое поле в системе СГС равно
+
+$$
+E_r=\frac{2\rho}{r},
+$$
+
+где $r$ — расстояние до нити.
+
+Нить движется вдоль самой себя, поэтому электрическое поле перпендикулярно скорости:
+
+$$
+\mathbf E\perp\boldsymbol{\beta}.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+E'_r=\gamma E_r.
+$$
+
+Отсюда
+
+$$
+\boxed{E'_r=\frac{2\gamma\rho}{r}}.
+$$
+
+Тот же результат можно понять через лоренцево сокращение: длина движущегося участка нити уменьшается в $\gamma$ раз, поэтому линейная плотность заряда возрастает:
+
+$$
+\rho'=\gamma\rho.
+$$
+
+Тогда
+
+$$
+E'_r=\frac{2\rho'}{r}.
+$$
+
+Магнитное поле равно
+
+$$
+\mathbf B'=\gamma[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E].
+$$
+
+Поэтому
+
+$$
+\boxed{B'=\beta E'_r}.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+\boxed{B'=\frac{2\gamma\beta\rho}{r}}.
+$$
+
+Итак,
+
+$$
+\boxed{\rho'=\gamma\rho,\qquad E'_r=\frac{2\gamma\rho}{r},\qquad B'=\frac{2\gamma\beta\rho}{r}}.
+$$
+
+---
+
+#### Задача 14.3.5
+
+В исходной системе отсчёта прямой проводник неподвижен и электрически нейтрален.
+
+Пусть объёмные плотности зарядов ионов и электронов равны
+
+$$
+\rho_i=\rho,\qquad \rho_e=-\rho.
+$$
+
+Ионы неподвижны, а электроны движутся вдоль проводника со скоростью $-\beta c$.
+
+Теперь рассмотрим состояние, в котором проводник движется со скоростью
+
+$$
+\beta_1c,
+$$
+
+где
+
+$$
+\beta_1=k\beta.
+$$
+
+Введём
+
+$$
+\gamma_1=\frac{1}{\sqrt{1-\beta_1^2}}.
+$$
+
+##### Плотность положительных ионов
+
+Ионы в исходной системе неподвижны. В новой системе они движутся со скоростью $\beta_1c$, поэтому расстояния между ними вдоль проводника сокращаются в $\gamma_1$ раз.
+
+Следовательно,
+
+$$
+\boxed{\rho_i'=\gamma_1\rho}.
+$$
+
+##### Плотность электронов
+
+В исходной системе электроны имеют плотность $-\rho$ и движутся со скоростью $\beta c$ относительно проводника.
+
+Перейдём сначала в систему покоя электронов.
+
+Так как в исходной системе их плотность уже увеличена лоренцевым сокращением в $\gamma$ раз, собственная плотность электронов равна
+
+$$
+\rho_{e0}=-\frac{\rho}{\gamma},
+$$
+
+где
+
+$$
+\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.
+$$
+
+Относительная скорость электронов и новой системы определяется релятивистским законом сложения скоростей:
+
+$$
+\beta_2=\frac{\beta_1-\beta}{1-\beta_1\beta}.
+$$
+
+Соответствующий лоренцев фактор равен
+
+$$
+\gamma_2=\gamma\gamma_1(1-\beta\beta_1).
+$$
+
+Поэтому плотность электронов в новой системе составляет
+
+$$
+\rho'_e=\gamma_2\rho_{e0}.
+$$
+
+Подставляя $\rho_{e0}$, получаем
+
+$$
+\rho'_e=-\gamma_1(1-\beta\beta_1)\rho.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+\boxed{\rho'_e=-\gamma_1(1-\beta\beta_1)\rho}.
+$$
+
+Полная объёмная плотность заряда проводника теперь не равна нулю:
+
+$$
+\rho'_{\Sigma}=\rho'_i+\rho'_e.
+$$
+
+Отсюда
+
+$$
+\rho'_{\Sigma}=\gamma_1\rho-\gamma_1(1-\beta\beta_1)\rho.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+\boxed{\rho'_{\Sigma}=\gamma_1\beta\beta_1\rho}.
+$$
+
+Таким образом, в движущейся системе проводник становится заряженным.
+
+##### Магнитное поле
+
+В исходной системе электрическое поле отсутствует:
+
+$$
+\mathbf E=0.
+$$
+
+Магнитное поле прямого проводника направлено перпендикулярно его оси и, следовательно, перпендикулярно $\boldsymbol{\beta}_1$.
+
+Из формулы преобразования магнитного поля имеем
+
+$$
+\mathbf B_1=\gamma_1\mathbf B.
+$$
+
+Поэтому
+
+$$
+\boxed{B_1=\gamma_1B}.
+$$
+
+Именно этот результат приведён в официальном ответе: магнитное поле увеличивается в $\gamma_1$ раз.
+
+##### Электрическое поле
+
+Из формулы преобразования электрического поля при $\mathbf E=0$:
+
+$$
+\mathbf E_1=-\gamma_1[\boldsymbol{\beta}_1\times\mathbf B].
+$$
+
+Но
+
+$$
+\mathbf B_1=\gamma_1\mathbf B.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+\boxed{\mathbf E_1=-[\boldsymbol{\beta}_1\times\mathbf B_1]}.
+$$
+
+По модулю
+
+$$
+\boxed{E_1=\beta_1B_1}.
+$$
+
+Итак, результаты задачи 14.3.5:
+
+$$
+\boxed{\rho'_i=\gamma_1\rho},
+$$
+
+$$
+\boxed{\rho'_e=-\gamma_1(1-\beta\beta_1)\rho},
+$$
+
+$$
+\boxed{\rho'_{\Sigma}=\gamma_1\beta\beta_1\rho},
+$$
+
+$$
+\boxed{B_1=\gamma_1B},
+$$
+
+$$
+\boxed{E_1=\beta_1B_1}.
+$$
+
+---
+
+### г) Задачи 14.3.6 и 14.3.7
+
+#### Задача 14.3.6
+
+![|841x241, 70%](../../img/14.3.8/изображение_2026-10-01_191834059.png)
+
+В исходной системе имеется только магнитное поле:
+
+$$
+\mathbf E=0.
+$$
+
+После перехода к движущемуся состоянию электрическое поле равно
+
+$$
+\mathbf E'=-\gamma[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B].
+$$
+
+Магнитное поле имеет вид
+
+$$
+\mathbf B'=\mathbf B_{\parallel}+\gamma\mathbf B_{\perp}.
+$$
+
+Рассмотрим векторное произведение
+
+$$
+[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B'].
+$$
+
+Поскольку
+
+$$
+[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B_{\parallel}]=0,
+$$
+
+получаем
+
+$$
+[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B']=\gamma[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B_{\perp}].
+$$
+
+Но
+
+$$
+[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B]=[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B_{\perp}].
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+\boxed{\mathbf E'=-[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B']}.
+$$
+
+Это точное соотношение.
+
+При малых скоростях
+
+$$
+\beta\ll1
+$$
+
+и
+
+$$
+\gamma\approx1.
+$$
+
+Кроме того,
+
+$$
+\mathbf B'\approx\mathbf B.
+$$
+
+Поэтому
+
+$$
+\boxed{\mathbf E'\approx-[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B]}.
+$$
+
+Этот результат показывает, что чисто магнитное поле в одной системе отсчёта в другой системе в общем случае сопровождается электрическим полем.
+
+---
+
+#### Задача 14.3.7
+
+Теперь в исходной системе существует только электрическое поле:
+
+$$
+\mathbf B=0.
+$$
+
+Тогда
+
+$$
+\mathbf E'=\mathbf E_{\parallel}+\gamma\mathbf E_{\perp},
+$$
+
+а магнитное поле равно
+
+$$
+\mathbf B'=\gamma[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E].
+$$
+
+Рассмотрим
+
+$$
+[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E'].
+$$
+
+Параллельная составляющая электрического поля не даёт вклада:
+
+$$
+[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E_{\parallel}]=0.
+$$
+
+Поэтому
+
+$$
+[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E']=\gamma[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E_{\perp}].
+$$
+
+Но
+
+$$
+[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E]=[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E_{\perp}].
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+\boxed{\mathbf B'=[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E']}.
+$$
+
+Это точное соотношение между электрическим и магнитным полями в преобразованной системе.
+
+При
+
+$$
+\beta\ll1
+$$
+
+имеем
+
+$$
+\gamma\approx1
+$$
+
+и
+
+$$
+\mathbf E'\approx\mathbf E.
+$$
+
+Поэтому
+
+$$
+\boxed{\mathbf B'\approx[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E]}.
+$$
+
+Таким образом, чисто электрическое поле в одной системе отсчёта в другой системе сопровождается магнитным полем.
+
+---
+
+### д) Ультрарелятивистский предел $\beta\to1$
+
+Рассмотрим поперечные составляющие преобразованных полей:
+
+$$
+\mathbf E'_{\perp}=\gamma\left(\mathbf E_{\perp}-[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B]\right),
+$$
+
+$$
+\mathbf B'_{\perp}=\gamma\left(\mathbf B_{\perp}+[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E]\right).
+$$
+
+Пусть
+
+$$
+\mathbf n=\frac{\boldsymbol{\beta}}{\beta}
+$$
+
+— единичный вектор вдоль направления движения.
+
+При
+
+$$
+\beta\to1
+$$
+
+можно в главных по $\gamma$ слагаемых положить $\boldsymbol{\beta}\to\mathbf n$.
+
+Введём вектор
+
+$$
+\mathbf A=\mathbf E_{\perp}-[\mathbf n\times\mathbf B_{\perp}].
+$$
+
+Тогда
+
+$$
+\mathbf E'_{\perp}\sim\gamma\mathbf A.
+$$
+
+Рассмотрим вектор
+
+$$
+[\mathbf n\times\mathbf A].
+$$
+
+Имеем
+
+$$
+[\mathbf n\times\mathbf A]=[\mathbf n\times\mathbf E_{\perp}]-[\mathbf n\times[\mathbf n\times\mathbf B_{\perp}]].
+$$
+
+Поскольку $\mathbf B_{\perp}\perp\mathbf n$,
+
+$$
+[\mathbf n\times[\mathbf n\times\mathbf B_{\perp}]]=-\mathbf B_{\perp}.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+[\mathbf n\times\mathbf A]=\mathbf B_{\perp}+[\mathbf n\times\mathbf E_{\perp}].
+$$
+
+Но именно это выражение входит в главную часть преобразованного магнитного поля:
+
+$$
+\mathbf B'_{\perp}\sim\gamma[\mathbf n\times\mathbf A].
+$$
+
+Таким образом,
+
+$$
+\mathbf B'_{\perp}\sim[\mathbf n\times\mathbf E'_{\perp}].
+$$
+
+Векторное произведение всегда перпендикулярно исходному вектору. Поэтому в ультрарелятивистском пределе
+
+$$
+\boxed{\mathbf E'\perp\mathbf B'}.
+$$
+
+Можно проверить этот результат и с помощью инварианта электромагнитного поля.
+
+При преобразованиях Лоренца сохраняется скалярное произведение
+
+$$
+\boxed{\mathbf E'\cdot\mathbf B'=\mathbf E\cdot\mathbf B}.
+$$
+
+Правая часть остаётся конечной, тогда как в общем случае при $\beta\to1$
+
+$$
+E'\sim\gamma,\qquad B'\sim\gamma,
+$$
+
+и поэтому
+
+$$
+E'B'\sim\gamma^2\to\infty.
+$$
+
+Если $\theta'$ — угол между $\mathbf E'$ и $\mathbf B'$, то
+
+$$
+\cos\theta'=\frac{\mathbf E'\cdot\mathbf B'}{E'B'}.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+\cos\theta'\to0,
+$$
+
+то есть
+
+$$
+\boxed{\theta'\to\frac{\pi}{2}}.
+$$
+
+Следует отметить, что это рассуждение относится к обычному невырожденному случаю, когда поперечные составляющие полей не сокращаются между собой. Именно этот случай подразумевается в формулировке задачи.
+
+---
+
+#### Итог
+
+Последовательные преобразования со скоростями $c\boldsymbol{\beta}$ и $-c\boldsymbol{\beta}$ взаимно обратны:
+
+$$
+\boxed{\mathbf E''=\mathbf E,\qquad \mathbf B''=\mathbf B}.
+$$
+
+Для чисто магнитного поля:
+
+$$
+\boxed{\mathbf E'=-[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B']}.
+$$
+
+Для чисто электрического поля:
+
+$$
+\boxed{\mathbf B'=[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E']}.
+$$
+
+При малых скоростях:
+
+$$
+\boxed{\mathbf E'\approx-[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf B]},
+$$
+
+$$
+\boxed{\mathbf B'\approx[\boldsymbol{\beta}\times\mathbf E]}.
+$$
+
+В ультрарелятивистском пределе, в невырожденном случае,
+
+$$
+\boxed{\beta\to1\quad\Longrightarrow\quad\mathbf E'\perp\mathbf B'}.
+$$