Решение

1. Угол между нормалями

Рассмотрим четырехугольник, образованный вершиной клина (с углом $\alpha$), двумя точками удара шарика о стенки и точкой пересечения проведенных к ним перпендикуляров (нормалей). Поскольку перпендикуляры образуют со стенками углы 90°, сумма двух оставшихся углов этого четырехугольника равна 180°. Следовательно, угол между нормалями при их пересечении равен $180^\circ - \alpha$.

2. Связь углов падения и угла клина

Обратим внимание на треугольник, который образует траектория шарика (красная линия) между двумя соударениями и две нормали.
Внутренние углы этого треугольника, прилегающие к нормалям, — это углы падения $\beta$ и $\gamma$. Третий угол — это найденный угол пересечения нормалей $180^\circ - \alpha$.
Поскольку сумма углов любого треугольника равна 180°, запишем уравнение:
$$\beta + \gamma + (180^\circ - \alpha) = 180^\circ$$
Из этого напрямую следует ключевое равенство:
$$\beta + \gamma = \alpha$$

3. Изменение направления скорости

При каждом упругом отражении вектор скорости поворачивается на угол $180^\circ - 2\theta$, где $\theta$ — угол падения относительно нормали.
Так как шарик совершает два последовательных удара, суммарный угол поворота вектора скорости $\Delta$ составит:
$$\Delta = (180^\circ - 2\beta) + (180^\circ - 2\gamma) = 360^\circ - 2(\beta + \gamma)$$
Подставляя сюда наше равенство $\beta + \gamma = \alpha$, получаем:
$$\Delta = 360^\circ - 2\alpha$$
Геометрически поворот вектора на угол $360^\circ - 2\alpha$ означает, что итоговый угол между начальным и конечным направлениями равен в точности $2\alpha$ (отмечен на рисунке четверной голубой дугой).

При $\alpha = \pi/2$:

Направление изменится на $2 \cdot (\pi/2) = \pi$, то есть мяч полетит строго в противоположном направлении.