| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $1.1.19.$ На какой угол изменится направление скорости шара после двух упругих ударов о стенки, угол между которыми равен $\alpha$? Как полетит шар, если угол $\alpha = \pi/2$? Движение происходит в плоскости, перпендикулярной стенкам. При упругом ударе о гладкую неподвижную стенку угол падения шара равен углу отражения. | | $1.1.19.$ На какой угол изменится направление скорости шара после двух упругих ударов о стенки, угол между которыми равен $\alpha$? Как полетит шар, если угол $\alpha = \pi/2$? Движение происходит в плоскости, перпендикулярной стенкам. При упругом ударе о гладкую неподвижную стенку угол падения шара равен углу отражения. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| <b>1. Угол между нормалями</b><br> | | <b>1. Угол между нормалями</b><br> |
| Рассмотрим четырехугольник, образованный вершиной клина (с углом $\alpha$), двумя точками удара шарика о стенки и точкой пересечения проведенных к ним перпендикуляров (нормалей). Поскольку перпендикуляры образуют со стенками углы 90°, сумма двух оставшихся углов этого четырехугольника равна 180°. Следовательно, угол между нормалями при их пересечении равен $180^\circ - \alpha$. | | Рассмотрим четырехугольник, образованный вершиной клина (с углом $\alpha$), двумя точками удара шарика о стенки и точкой пересечения проведенных к ним перпендикуляров (нормалей). Поскольку перпендикуляры образуют со стенками углы 90°, сумма двух оставшихся углов этого четырехугольника равна 180°. Следовательно, угол между нормалями при их пересечении равен $180^\circ - \alpha$. |
| | | |
| <b>2. Связь углов падения и угла клина</b><br> | | <b>2. Связь углов падения и угла клина</b><br> |
| Обратим внимание на треугольник, который образует траектория шарика (красная линия) между двумя соударениями и две нормали. | | Обратим внимание на треугольник, который образует траектория шарика (красная линия) между двумя соударениями и две нормали. |
| Внутренние углы этого треугольника, прилегающие к нормалям, — это углы падения $\beta$ и $\gamma$. Третий угол — это найденный угол пересечения нормалей $180^\circ - \alpha$. | | Внутренние углы этого треугольника, прилегающие к нормалям, — это углы падения $\beta$ и $\gamma$. Третий угол — это найденный угол пересечения нормалей $180^\circ - \alpha$. |
| Поскольку сумма углов любого треугольника равна 180°, запишем уравнение: | | Поскольку сумма углов любого треугольника равна 180°, запишем уравнение: |
| $$ \beta + \gamma + (180^\circ - \alpha) = 180^\circ $$ | | $$ \beta + \gamma + (180^\circ - \alpha) = 180^\circ $$ |
| Из этого напрямую следует ключевое равенство: | | Из этого напрямую следует ключевое равенство: |
| $$ \beta + \gamma = \alpha $$ | | $$ \beta + \gamma = \alpha $$ |
| | | |
| <b>3. Изменение направления скорости</b><br> | | <b>3. Изменение направления скорости</b><br> |
| При каждом упругом отражении вектор скорости поворачивается на угол $180^\circ - 2\theta$, где $\theta$ — угол падения относительно нормали. | | При каждом упругом отражении вектор скорости поворачивается на угол $180^\circ - 2\theta$, где $\theta$ — угол падения относительно нормали. |
| Так как шарик совершает два последовательных удара, суммарный угол поворота вектора скорости $\Delta$ составит: | | Так как шарик совершает два последовательных удара, суммарный угол поворота вектора скорости $\Delta$ составит: |
| $$ \Delta = (180^\circ - 2\beta) + (180^\circ - 2\gamma) = 360^\circ - 2(\beta + \gamma) $$ | | $$ \Delta = (180^\circ - 2\beta) + (180^\circ - 2\gamma) = 360^\circ - 2(\beta + \gamma) $$ |
| Подставляя сюда наше равенство $\beta + \gamma = \alpha$, получаем: | | Подставляя сюда наше равенство $\beta + \gamma = \alpha$, получаем: |
| $$ \Delta = 360^\circ - 2\alpha $$ | | $$ \Delta = 360^\circ - 2\alpha $$ |
| Геометрически поворот вектора на угол $360^\circ - 2\alpha$ означает, что итоговый угол между начальным и конечным направлениями равен в точности $2\alpha$ (отмечен на рисунке четверной голубой дугой). | | Геометрически поворот вектора на угол $360^\circ - 2\alpha$ означает, что итоговый угол между начальным и конечным направлениями равен в точности $2\alpha$ (отмечен на рисунке четверной голубой дугой). |
| | | |
| <i>При $\alpha = \pi/2$:</i><br> | | <i>При $\alpha = \pi/2$:</i><br> |
| Направление изменится на $2 \cdot (\pi/2) = \pi$, то есть мяч полетит строго в противоположном направлении. | | Направление изменится на $2 \cdot (\pi/2) = \pi$, то есть мяч полетит строго в противоположном направлении. |
| | | |
| | | |
| ### Альтернативное решение | | ### Альтернативное решение |
| | | |
| <strong>Метод выпрямления.</strong> Рассмотрим случай $\alpha \leqslant \pi/2$. По симметрии отражения при ударе будем продолжать движение в отраженный угол относительно плоскости удара. Получается прямая траектория. | | <strong>Метод выпрямления.</strong> Рассмотрим случай $\alpha \leqslant \pi/2$. По симметрии отражения при ударе будем продолжать движение в отраженный угол относительно плоскости удара. Получается прямая траектория. |
| | | |
| Вот рисунок схема. | | Вот рисунок схема. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Пусть к верхней грани подлетает с углом $\gamma$ к грани этой. По чертежу выпрямления через два удара тело летит к верхней снова, но под углом | | Пусть к верхней грани подлетает с углом $\gamma$ к грани этой. По чертежу выпрямления через два удара тело летит к верхней снова, но под углом |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \gamma + 2\alpha. | | \gamma + 2\alpha. |
| $$ | | $$ |
