Альтернативное решение

Пусть по виткам длинного соленоида течет ток $I$. Магнитное поле направлено вдоль оси цилиндрической системы. Пусть $B_{1}$ - индукция магнитного поля внутри соленоида, а $B_{2}$ - индукция магнитного поля в пространстве между соленоидом и сверхпроводящей трубой. В толще самого сверхпроводника магнитное поле равно нулю.

Поскольку труба является сверхпроводящей, полный магнитный поток $\Phi_{п}$ через любое её поперечное сечение должен оставаться неизменным. До включения тока поток был равен нулю, следовательно:

$$\Phi_{п}=B_{1}\cdot\pi r^{2}+B_{2}\cdot\pi(R^{2}-r^{2})=0 \tag{1}$$

Отсюда:

$$B_{2}=-B_{1}\cdot\frac{r^{2}}{R^{2}-r^{2}} \tag{2}$$

Выберем замкнутый прямоугольный контур, одна сторона которого длины $l$ проходит внутри соленоида вдоль его оси, а параллельная ей возвращается через зазор между соленоидом и трубой. Тогда по теореме Ампера:

$$\oint\vec B\cdot d\vec l=B_{1}l-B_{2}l=\mu_{0}NI \tag{3}$$

Или:

$$B_{1}-B_{2}=\mu_{0}\frac{NI}{l} \tag{4}$$

Подставим (2) в (4):

$$B_{1}-\left( -B_{1}\cdot\frac{r^{2}}{R^{2}-r^{2}} \right)=\mu_{0}\frac{NI}{l} \tag{5}$$

После упрощений получим:

$$B_{1}=\mu_{0}\frac{NI}{l}\left( 1-\frac{r^{2}}{R^{2}} \right) \tag{6}$$

Индуктивность $L$ определяется как отношение полного потокосцепления $\Psi$ соленоида к силе тока $I$ в нем. Полное потокосцепление равно магнитному потоку сквозь один виток, умноженному на общее число витков $N$:

$$L=\frac{\Psi}{I}=\frac{N\Phi_{1}}{I}=\frac{NB_{1}\pi r^{2}}{I} \tag{7}$$

Подставим (6) в (7) и получим ответ задачи:

$$\boxed{L=\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right)\frac{\mu_{0}N^2\pi r^{2}}{l}}$$