<h3 id="back-link"><a href="/#3">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p>
$3.3.15^*.$ Стрелок пытается попасть в диск радиуса $R$, который колеблется гармонически так быстро, что стрелок не может за ним уследить. Тогда он целится в центр области движения диска. С какой вероятностью стрелок попадет в диск, если амплитуда колебаний диска $a \gg R$? Если $A = 2R$? Увеличится ли вероятность попадания, если стрелок будет целиться в точку на расстоянии $R$ от края области?
</p>
<center>
<figure>
<img src="statement.png"
loading="lazy" width="180" />
<figcaption>
К задаче 3.3.15
</figcaption>
</figure>
</center>
<h3> Решение: </h3>
<p>
Перед просмотр решения рекомендую посмотреть решение задачи с похожим условием <a href="/ru/1/1.1.23" target="_blank">1.1.23</a>
</p>
<center>
<figure>
<img src="animation.gif" alt="1.1.23"
loading="lazy" width="300" />
<figcaption>
Движение мешени
</figcaption>
</figure>
</center>
<p>
$\text{a) }$Гармоническое движение мишени описывается уравнением
$$x(t) = a \cos \omega t$$
При этом период колебаний равен
$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$
Время за которое проходит цетр диска диапазон $[0; R]$ найдем как
$$a \sin \omega t = R$$
$$\sin \omega t = \frac{R}{a}$$
Учитывая $a \gg R$, пользуемся приближением $\sin x \approx x$
$$\omega t = \frac{R}{a}$$
Откуда $t$
$$t = \frac{R}{\omega a}$$
Аналогично, время за которое проходит цетр диска диапазон $[-R; 0]$ равно
$$t = \frac{R}{\omega a}$$
Тогда, время за которое проходит цетр диска диапазон $[-R; R]$ составляет
$$t = \frac{2R}{\omega a}$$
Так как за время $T$ полного колебания, мишень проходит центр дважды, время в течении которого стрелок может попасть в мишень за промежуток $T$
$$\tau = \frac{4R}{\omega a}$$
Отсюда вероятность попадания
$$w = \frac{\tau}{T} = \frac{4R}{\omega a} \frac{\omega}{2\pi}$$
$$\boxed{w = \frac{2R}{πa}}$$
$\text{b) }$Если $a = 2R$, то время за которое проходит цетр диска диапазон $[0; R]$ найдем как
$$2R \sin \omega t = R$$
$$\sin \omega t = \frac{1}{2}$$
$$t = \frac{\pi}{6\omega}$$
Так как за время $T$ полного колебания, мишень проходит центр дважды, время в течении которого стрелок может попасть в мишень за промежуток $T$
$$\tau = 4t = \frac{4\pi}{6 \omega}$$
Отсюда вероятность попадания
$$w = \frac{\tau}{T} = \frac{2\pi}{3 \omega} \frac{\omega}{2\pi}$$
$$\boxed{w=\frac{1}{3}}$$
Приближаяся к краю, скорость мишень уменьшается, соответственно увеличивается время, которое ее "видит" охотник, откуда и увеличивается вероятность попадания
</p>
<h4>
Ответ:
</h4>
<p>$w = 2R/(πA)$ при $A \gg R$
</p>
<p>
$w = 1/3$ при $A = 2R$. Увеличится.</p>
