Решебник Савченко

Решение задач из Савченко О.Я.

Aliaksandr Melnichenka
October 2023

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#1.3">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие: </h3>

    <p> \\(1.3.13^{*}.\\) Снаряд, вылетев из орудия, попал в точку с координатами $x$ по горизонтали и $y$ по вертикали. Начальная скорость снаряда $v$. Найдите: 
    </p>
    <p>
        а) тангенс угла, образуемого стволом орудия с горизонтом; 
    </p>
    <p>
        б) границу области возможного

попадания снаряда;

в) наименьшую начальную скорость снаряда, при которой он
может попасть в точку с координатами $x, \,y$.

Указание. При решении воспользуйтесь тригонометрическим тождеством $1/ \cos ^2 \varphi = \tan ^2 \varphi + 1$

    <h3> Решение: </h3>
    <p>а) Воспользуемся формулой для траектории полета, полученной в <a href="/1.3.6" target="_blank">1.3.6</a>:</p>
	<p class="exp">
	$$y(x) = x \tan \varphi-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2\varphi}$$
	</p>
    <p>Воспользуемся <a href="#hint">подсказкой</a>,</p>
    <p class="exp">
    $$y(x) = x \tan \varphi-\frac{gx^2}{2v^2}(1+\tan ^2 \varphi)\\;(1)$$
    </p>
    <p>Откуда выражаем угол $ \varphi$:</p>
    <p class="exp">
    $$\tan \varphi=\frac{v^2\pm\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}$$
    </p>
    <p>б) Изобразим множество траекторий, меняя угол $\varphi$ от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$:</p>
       <center>
      <figure>
        <img src="graph.png" alt="1.3.13"
          loading="lazy" width="450" />
          <figcaption>
            Траектории движения при разных углах, ложатся на одну кривую
          </figcaption>
      </figure>
      </center>
    <p>Проанализировав область определения функции $(1)$, подчеркнем, что подкоренное выражение не отрицательное</p>
    <p class="exp">
    $v^4-2gv^2y-g^2x^2 \geq 0$
    </p>
    <p class="exp">
    $$y \leq \frac{v^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v^2}$$
    </p>
    <p>в) Из $(1)$, получаем:</p>
    <p class="exp">
        $$v_{x}v_{y}x-\frac{1}{2}gx^{2}=v_{x}^{2}y$$
    </p>
    <p>Воспользуемся формулой для горизонтальной и вертикальной координат, полученной в <a href="/1.3.6" target="_blank">1.3.6</a>:</p>
    <p class="exp">
    $$y(t) = vt \cdot \sin{\varphi} - \frac{gt^2}{2}$$
    </p>
    <p class="exp">
    $x(t) = vt \cdot \cos{\varphi}$
    </p>
    <p>Пусть $\xi=\cos{\varphi}$, </p>
    <p class="exp">
        $v_y = v \xi$
    </p>
    <p class="exp">
        $v_x = v \sqrt{1-\xi ^2}$
    </p>
    <p>Получаем функцию </p>
    <p class="exp">
        $$v(\xi)=\frac{\sqrt{g}x}{\sqrt{2 \xi \sqrt{1-\xi ^{2}}x-\xi ^{2}y}} \\;(2)$$
    </p>
    <p>Максимум подкоренного значения соответсвует минимуму функции (2)</p>
    <p class="exp">
        $(\sqrt{x^{2}+y^{2}-y})/2 \rightarrow  \max$
    </p>
    <p>Минимум функции $(2)$</p>
    <p class="exp">
        $$\fbox{$v^{2}=\frac{gx}{\sqrt{1+(\frac{y}{x})^{2}}-\frac{y}{x}}$}$$
    </p>


    <h4> 
        Ответ: 
    </h4>
    <p>a) $\tan \varphi=\frac{v^2\pm\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}.$
    </p>
    <p>б) $y=\frac{v^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v^2}$
    </p>
    <p>в) $v_{\text{мин}}=\sqrt{g(y+\sqrt{x^2+y^2})}$
    </p>
    <br>

    <footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> aliaksandr@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>