Решебник Савченко

Решение задач из Савченко О.Я.

Aliaksandr Melnichenka
October 2023

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#1.4">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие: </h3>

    <p>     
    	$1.4.12.$ Тело влетает горизонтально со скоростью $v$ в пространство между двумя вертикальными стенками, которые перемещаются со скоростью $u$. Определите скорость тела после $n$-го удара о переднюю стенку. Расстояние между стенками $L$. Удары абсолютно упругие.
    </p>
  <center>
  <figure>
    <img src="statement.png"
      loading="lazy" width="180" />
      <figcaption>
        К задаче 1.4.12
      </figcaption>
  </figure>
  </center>

		<h3> Решение: </h3>
  <center>
  <figure>
    <img src="animation.gif"
      loading="lazy" width="350" />
      <figcaption>
        Анимация движения
      </figcaption>
  </figure>
  </center>

    <p>Рассмотрим, как изменяется скорость $v_x$ вдоль горизонтальной оси $Ox$</p>
		<p>Когда тело летит на правую стенку, $v_x = v$. Далее, после упругого соударения скорость меняется на $v_x = v - 2u$. Более подробно почему происходит именно так см. <a href="/1.4.9" target="_blank">1.4.9</a>.</p>
    <p>Аналогично, после соударения о левую стенку $v_x$ станет равной </p>
    <p class="exp">$v_x = (v - 2u) + 2u = v$</p>
    <p>Таким образом, всегда после соударения о правую стенку, скорость $v_x$ будет равна $v - 2u$</p>
    <p class="exp">$v_x = v - 2u$</p>
    <p>А время между $n$ и $n-1$ соударением</p>
    <p class="exp">$$t_n - t_{n-1} = \frac{L}{v - 2u} + \frac{L}{v}$$</p>
    <p class="exp">$$t_n - t_{n-1} = L \frac{2(v-u)}{v(v-2u)}$$</p>
    <p>Т.к. в вертикальной плоскости соударения отсутсвуют, то скорость $v_y$ зависит от времени $t$ как</p>
    <p class="exp">$v_y = gt$</p>
    <p>А в общем случае:</p>
    <p class="exp">$v_y = g(2n-1)(t_n - t_{n-1})$</p>
    <p class="exp">$$\fbox{$v_y = (2n − 1)g L \frac{2(v-u)}{v(v-2u)}$}$$</p>

    <h3> Ответ: </h3>
    <p>Проекция скорости на горизонтальное направление $v_x = v −2u$; проекция скорости

на вертикальное направление $v_y = (2n − 1)g L \frac{2(v-u)}{v(v-2u)}$.

    <footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> aliaksandr@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>