2.4.16 | правка #6311 | Решения Савченко

Решебник Савченко

Решение задач из Савченко О.Я.

Aliaksandr Melnichenka
October 2023

     <div id="main" class="col col-lg-9">
        <div class="row">
           <div class="col caption">
              <h2>
                 <a href="/ru#2.4">←Назад</a>
              </h2>
           </div>
        </div>
        <div id="1" class="row odd">
           <div class="col col-lg-12">
              <h3>
                 Условие:
              </h3>
              <div class="task">
                 <p>                                                         
                    \\(2.4.16.\\) Две бусинки массы $m$ каждая, связанные друг с другом пружиной

жесткости $$k$$ , удерживают на гладких жестко закрепленных в стене стержнях.
Пружина растянута, и ее длина равна $$l$$ . Расстояние между свободными концами стержней равно длине недеформированной пружины. Бусинки отпускают. С какой скоростью будет двигаться пружина в направлении $$x$$ после того, как бусинки
соскочат со стержня? Какой будет наибольшая деформация сжатия пружины?

Решение

Сохранение энергии на начальном этапе $\frac{k\left(l-l_0\right)^2}{2} = 2\frac{mv^2}{2}$ Откуда $v = \sqrt{\frac{k}{2m}}\left(l-l_0\right)$ Наибольшее сжатие будет тогда, когда некуда будет сжимать $$(v_y=0)$$ Альтернатива для горизонтальной проекции $v_x=v\cos\alpha;v_x=\text{const}$ После замены $\boxed{v_x = \sqrt{\frac{k}{2m}}\left(l-l_0\right)\cos\alpha}$ Сохранение энергии при деформации $x_\text{max}$ $\frac{k\left(l-l_0\right)^2}{2} = 2\frac{mv_x^2}{2} + \frac{kx_\text{max}^2}{2}$ Откуда $x_\text{max}^2=\left(l-l_0\right)^2\left(1-\cos^2\alpha\right)$ После использования основного тригонометрического тождества: $\boxed{x_\text{max} = \left(l-l_0\right) \sin \alpha}$

Ответ

$\begin{aligned}v_x=(l-l_0)\sqrt{k/(2m)} \cos\alpha; x=(l-l_0)\sin\alpha.\end{aligned}$

Almaskhan Arsen

  </div>
  </div>		
      <footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>
  <script type="text/javascript" src="/js/bootstrap-affix.js"></script>
  <script type="text/javascript">
     $(function(){
        	setTimeout(function () {
          		$('.back-to-top').affix();
        	}, 100);
     
     });
  </script>