Решебник Савченко

Решение задач из Савченко О.Я.

Aliaksandr Melnichenka
October 2023

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#2.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие: </h3>

    <p>     
    	$2.2.46^*.$ Газ, вытекающий из сопла ракеты, имеет скорость $v$ относительно нее. Определите изменения скорости ракеты после того, как ее масса из-за истечения газа уменьшилась в $n$ раз.
    </p>

		<h3> Решение: </h3>

    <center>
      <figure>
        <img src="draw.jpg"
          loading="lazy" width="350" />
        <figcaption>
            Схема движения ракеты
        </figcaption>
      </figure>
    </center>

    <p>
        Запишем закон сохранения импульса за малый промежуток времени
        $$Mv = (M+dm)(v+dv) - dm(v+u)$$
        $$Mv = Mv + dmu + mdv$$
        $$dmu = -mdv$$
        Откуда получаем соотношение
        $$-\frac{dm}{m} = \frac{dv}{u}$$
        Интегрируем обе части уравнения
        $$-\int_{M_1}^{M_2}\frac{dm}{m} = \int_{v_1}^{v_2}\frac{dv}{u}$$
        $$\boxed{\ln \frac{M_1}{M_2} = \frac{\Delta{v}}{u}}$$
        Это уравнение называется <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Tsiolkovsky_rocket_equation" target="_blank">формулой Циалковского</a>
    </p>
    <p>
        Откуда получаем искомое соотношение 
        $$\boxed{u = v \ln n}$$
    </p>
    <h4>
    	Ответ: 
    </h4>
    <p>$$u = v \ln n$$</p>

    <footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>