Solutions of Savchenko Problems in Physics knowledge must be free
<h3 id="back-link"><a href="/ru#2.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p>
$2.2.32^*.$ В цилиндре под поршнем массы $M$ прыгают, упруго ударяясь о поршень и дно цилиндра, $N$ шариков массы $m$ каждый. Сила тяжести, действующая на поршень, уравновешена ударами шариков. Расстояние между дном цилиндра и поршнем равно $h$. Полная энергия каждого шарика одинакова. На какую высоту будут подскакивать шарики, если поршень быстро убрать? $N \gg 1$.
</p>
<center>
<figure>
<img src="statement.png"
loading="lazy" width="230" />
<figcaption>
К задаче 2.2.32
</figcaption>
</figure>
</center>
<h3> Решение: </h3>
<p style="font-style: italic;">
NO: Эта задача была в одном из туров отборочных испытаний в Национальную сборную Республики Беларусь на Международную Физическую Олимпиаду
</p>
<p>
Поршень не падает, потому что импульс, который передают ударяющиеся каждые $\Delta t$ секунд шарики, компенсирует силу тяжести, действующую на поршень
$$Mg = N \frac{dp}{dt} \quad\text{(1)}$$
Т.к. удар абсолютно упругий, скорость шарика по модулю при ударе сохраняется, а по направлению меняется на противоположную
$$dp = m(v - (-v)) = 2mv \quad\text{(2)}$$
Время между двумя последовательными соударениями одного шарика $\Delta t$ найдем из кинематических соображений
$$v_0t - \frac{gt^2}{2} = H \quad\text{(3)}$$
$$v_0 - gt = v \quad\text{(4)}$$
$$v= \sqrt{v_0^2 - 2gh} \quad\text{(5)}$$
Из $\text{(3)}$ выразим $t$
$$t = \frac{v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}}{g} \quad\text{(6)}$$
Перепишем $\text{(1)}$
$$Mg = N \frac{2m\sqrt{v_0^2 - 2gh}}{2\frac{v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}}{g}} \quad\text{(7)}$$
$$M(v_0 - \sqrt{v^2_0-2gh}) = N m\sqrt{v_0^2 - 2gh} \quad\text{(5)}$$
$$Mv_0 = (M+N m)\sqrt{v_0^2 - 2gh} \quad\text{(8)}$$
Возводим обе части в квадрат
$$M^2v_0^2 = (M+N m)^2(v_0^2 - 2gh) \quad\text{(9)}$$
Откуда находим скорость:
$$v_0 = \sqrt{2gh\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}} \quad\text{(10)}$$
Из закона сохранения энергии, шарик запущенный со скоростью $v_0$ с поверхности земли достигнет максиму своего полета на высоте
$$H=\frac{v_0^2}{2g} \quad\text{(11)}$$
$$\boxed{H=h\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}} \quad\text{(12)}$$
</p>
<h4>
Ответ:
</h4>
<p>$$H=h\frac{(M+Nm)^2}{Nm(Nm+2M)}$$</p>
Savchenko Solutions