База задач

В сосуде с газом, давление которого можно менять, находятся два параллельных диска. Один диск висит на упругой нити, другой вращается с постоянной угловой скоростью. Угол закручивания первого диска при давлении $P_1$ равен $\varphi_1$. При увеличении давления газа угол закручивания нити сначала увеличивается, а затем, достигнув величины $\varphi_2$, перестает зависеть от давления газа. Объясните этот эффект. Как зависит угол закручивания нити от давления газа при $\varphi \ll \varphi_2$?

Оцените массу жидкого воздуха, испарившегося за час из плохо откачанного сосуда Дьюара, если давление воздуха (при температуре $293$ К), оставшегося между стенками сосуда, равно $0{,}133$ Па. Поверхность сосуда $600$ см$^2$, удельная теплота парообразования жидкого воздуха $0{,}2$ МДж/кг, его температура $81$ К. Зазор между стенками сосуда мал по сравнению с длиной свободного пробега молекул.

Решите задачи 5.8.5 в случае, когда первоначально тангенс угла падения равен $1/m$, где $m$ — целое число.

Атомы, имеющие одинаковую по модулю скорость $v$, одновременно влетают в цилиндр через небольшое отверстие, расположенное в центре дна цилиндра. Направления скоростей атомов распределены равномерно внутри конуса с небольшим углом $\Delta$ при вершине. Конус скоростей соосен с цилиндром. Радиус цилиндра $R$, его высота $H$. Оцените время равномерного заполнения атомами пространства внутри цилиндра в случае упругого отражения атомов от его стенки и в случае, когда через время $\tau \gg \frac{R}{v}$, $\frac{H}{v}$ после попадания на стенку атом уходит внутрь цилиндра под любым углом к его стенке со скоростью $v$.

Один электрод плоского конденсатора является эмиттером электронов, другой состоит из параллельных проволок, промежутки между которыми существенно меньше расстояния $d$ между электродами. Разность потенциалов между электродами $V$. Определите разброс электронов, прошедших второй электрод, по «поперечной» энергии, если промежуток между проволоками $a$, а их толщина $b$. Начальной скоростью электронов пренебречь.

Определите разность потенциалов на обкладках конденсатора, если ленточный пучок протонов, перпендикулярный обкладкам и прошедший две узкие параллельные щели, сфокусировался на расстоянии $l$ от второй обкладки. Протоны были ускорены разностью потенциалов $V_0$. Расстояние между обкладками конденсатора $d$. Первая обкладка заземлена, $l \gg d$.

Докажите, что равномерно заряженные нити сетки с квадратными ячейками фокусируют параллельный пучок электронов, прошедший через ячейку в точку, если толщина нитей много меньше размеров ячейки и пучок падает перпендикулярно плоскости сетки. Чему равно фокусное расстояние такой ячейки, если электрическое поле вдали от плоскости сетки однородно и справа равно $E_1$, слева $E_2$, а энергия электронов равна $eV$?

Контейнер, наполненный воздухом при комнатной температуре и атмосферном давлении, облучается рентгеновским излучением, ионизирующим небольшую часть молекул. Отрицательными ионами являются молекулы O$_2$, «захватившие» электрон. Размер контейнера $10 \times 10 \times 2$ см; две стенки $10 \times 10$ см сделаны из металла, а остальные — из изолирующего материала. Между проводящими стенками приложено напряжение $1000$ В, вызывающее ток $1{,}5$ мкА. Считая число положительных и отрицательных однократно заряженных ионов одинаковым, оцените долю ионизированных молекул газа. Длина свободного пробега ионов $10^{-7}$ м.

При разрядке конденсатора, заряд которого $q$, через электролитическую ванну с подкисленной водой выделяется масса $m$ гремучего газа. Масса выделяющегося при электролизе вещества зависит только от прошедшего заряда. Значит, разрядив конденсатор через $k$ последовательно соединенных ванн, получим массу $km$ гремучего газа. Сжигая этот газ, получим много энергии. При достаточно большом $k$ эта энергия превзойдет первоначальную энергию заряженного конденсатора! Следовательно, в чем-то наши рассуждения ошибочны. Найдите эту ошибку.

Полная плотность тока в электролитах является суммой плотности тока положительных ионов и плотности тока отрицательных ионов: $j = e_+ n_+ v_+ + e_- n_- v_-$, где $e_\pm$, $v_\pm$ и $n_\pm$ — заряд, скорость положительных и отрицательных ионов и их число в единице объема. Почему масса вещества, выделившегося на катоде, пропорциональна полному току, а не току только положительных ионов?

а. Формула преобразования полей $\vec E$ и $\vec B$ при движении их со скоростью $\vec\beta c$ имеет следующий вид: $\vec E\,' = \vec E_\parallel + \gamma(\vec E_\perp - [\vec\beta \times \vec B])$, $\vec B\,' = \vec B_\parallel + \gamma(\vec B_\perp + [\vec\beta \times \vec E])$, $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}$, где $\vec E\,'$ и $\vec B\,'$ — электрические и магнитные поля в сносе; $\vec E_\parallel$, $\vec E_\perp$ и $\vec B_\parallel$, $\vec B_\perp$ — составляющие электрических и магнитных полей, параллельные и перпендикулярные $c\vec\beta$ в начальной системе. Движение полей $\vec E\,'$ и $\vec B\,'$ со скоростью $-c\beta$ возвращает прежнее состояние. Проверьте это.

в. Используя приведенные в пункте а формулы преобразования полей, решите задачи 14.3.1–14.3.3, 14.3.5$^{*)}$.

г. Используя приведенные в пункте а формулы преобразований полей, решите задачи 14.3.6 а, б и 14.3.7.

д. Докажите, что при $\beta \to 1$ поля $\vec E\,'$ и $\vec B\,'$ перпендикулярны.

а. «. . . Для движущегося электрона электрическое поле $E$ эквивалентно добавочному магнитному полю $\vec B = [\vec \beta \times \vec E]$» (Г. Бете, Э. Солиптер. Квантовая механика с одним и двумя электронами. М.: Физматгиз, 1960). Определите, используя это утверждение, силу действующую на магнитный момент электрона в атоме водорода, если электрон$^{*)}$ движется по круговой орбите.

Заряженный конденсатор, подвешенный на нити, казалось бы, не может вместе с нитью и подвесом двигаться поступательно, если угол $\alpha$ не прямой, так как магнитная сила взаимодействия двух совместно движущихся зарядов создает вращательный момент. Этот вращательный момент можно было бы обнаружить экспериментально, если считать, что конденсатор вместе с Землей движется со скоростью $\beta c$. Так ли это?

При какой минимальной разности потенциалов в плоском конденсаторе электроны, ускоренные потенциалом $U = 1$ МВ, влетающие в конденсатор через небольшое отверстие в нижней пластине под углом $\alpha = 30^\circ$ к ней, не долетают до верхней пластины?

Магнитное поле в телевизионной трубке поворачивает электроны с энергией $E = 2 \cdot 10^{4}$ эВ на угол $\alpha = 60^\circ$. Отклоняющая катушка создает магнитное поле на участке трубки длиной $l = 10$ см. Определите индукцию магнитного поля. Какая ошибка совершается при расчете индукции, если пренебречь изменениями массы электрона при его движении?

Решите задачу 14.4.23 в случае, если область, занятая магнитным полем, движется перпендикулярно своей границе со скоростью $\beta_1 c$.