Молекулярная физика > Вероятность термодинамического состояния > Задача 5.8.5

Условие

$5.8.5.$ Траектория атома, упруго отражающегося от стенок куба размерами $a \times a \times a$, представляет собой квадрат. Скорость атома равна $v$.

[a.] С какой средней скоростью будет перемещаться место удара по каждой стенке, если угол падения в плоскости квадрата изменить на $\Delta \ll 1$? При каких значениях $\Delta$ траектория атома будет замкнутой? незамкнутой? Определите расстояние между соседними параллельными участками траекторий в первом и втором случаях.

[б.] Почему можно считать, что траектория атома обычно не является замкнутой? Какова вероятность обнаружить атом в квадрате площади $S$, расположенном в плоскости, вдоль которой движется атом, в случае незамкнутой траектории?

[в.] Как будет двигаться атом, если изменить угол его падения перпендикулярно плоскости квадрата на $\Delta \ll 1$? Какова вероятность обнаружить такой атом в области внутри куба, объём которой равен $V$?

Решение

{а.} Заметим, что при отражении просто меняет знак компонента скорости. Можно развернуть скорость, но это рассматривать тяжело. Проще рассмотреть движение в отражённом квадрате!!! Можно отражать квадраты не только горизонтально, но и вертикально, как движение в сетке. Но горизонтально это делать проще всего.

На рисунке движение по траектории развёрнуто с помощью зеркальных отражений в движение между двумя параллельными прямыми. Соответствующие точки траекторий отмечены одинаковыми буквами.

Нам просто надо, что бы при новом угле за целое количество вертикальных циклов стена-потолок-стена, точка удара прошла целое количество длин стороны горизонтальных.
Из этого рисунка следует:

\[
v' \approx \frac{x}{2A'B'} v \approx v \Delta \sqrt{2}; \quad \Delta \approx \frac{1}{2} \left[ \tan \left( \frac{\pi}{4} + \Delta \right) - 1 \right] = \frac{k}{2n},
\]

где $k$ и $n$ — целые числа, не имеющие общих делителей,

\[
\tan(\pi/4 + \Delta) - 1 = k/n; \quad h_1 \approx 2a \Delta/k, \quad h_2 = 0.
\]

{б.} Маловероятно, что $\tan(\pi/4 + \Delta) - 1$ точно равен простой дроби, например 0,03, поскольку вблизи этого числа может быть сколь угодно много других чисел, например чисел вида $0,03 + \sqrt{2}/n$, где $n$ — целое число, которые отличаются от 0,03 на сколь угодно малую величину. Эти числа называются иррациональными, и в математике доказывается, что множество этих чисел мощнее множества простых дробей. Если число иррационально, то траектория не замкнута.

{в.} $P = V/a^3$, поскольку траектория не замкнута. И нету "запрещённых областей"

Ответ

[а.] См. выше;

[б.] См. выше;

[в.] $P = V/a^3.$