Решебник Савченко
<h3 id="back-link"><a href="/ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p>
$2.1.9.$ Для испытания оборудования в условиях невесомости контейнер подбрасывается вверх пневматическим поршневым устройством, находящимся на дне вакуумированной шахты. Поршень действует на контейнер в течение времени $\Delta t$ с силой $F = nmg$, где $m$ — масса контейнера с оборудованием. Через какое время контейнер упадет на дно шахты? В течение какого времени длится для оборудования состояние невесомости, если $\Delta t = 0.04 \text{ с}$, а $n = 125$?
</p>
<h3> Решение: </h3>
<p>
1. Движение контейнера можно разделить на три участка: на разгонном участке $OA$. со стороны поршня действует сила $F = nmg$, которая разгоняет контейнер до скорости $v_0$; на втором участке $AB$ контейнер движется как тело, брошенное вертикально вверх, на третьем участке, после остановки, контейнер с аппаратурой совершит свободное падение на дно шахты.
</p>
<p>
2. Запишем для разгонного участка уравнение основного закона динамики, что в сочетании с кинематическими условиями равноускоренного движения позволяет определить величины $y_1$, $t_1$ и $v_0$
$$nmg-mg = ma $$
$$a = g(n-1) = 1240 \\,м/с^2$$
$$V_0 = a \Delta t = g(n-1) \Delta t = 50 \\,м/с$$
$$y_1 = \frac{a\Delta t^2}{2} = \frac{g (n-1)\Delta t^2}{2} = 2 \\,м$$
3. Определим время подъёма контейнера из точки $А$ в точку $В$ и величину $y_2$
$$t_2 = \frac{v_0}{g} = (n-1) \Delta t = 5\\,c$$
$$y_2 = v_0 t_2 - \frac{gt_2^2}{2} $$
$$y_2= g(n-1)^2 \Delta t^2 - \frac{g}{2}(n-1)^2 \Delta t^2$$
4. Таким образом, контейнер остановится, достигнув высоты:
$$y_3=y_2+y_1 = \frac{g(n-1) \Delta t^2}{2} +\frac{g(n-1)^2 \Delta t^2}{2}$$
5. Время падения контейнера с высоты $y_3$
$$t_3 = \sqrt{\frac{2 y_3}{g}} = \Delta t \sqrt{n(n-1)} = 5 \\,с$$
6. Время пребывания контейнера с аппаратурой в «безвоздушном» пространстве
$$t=\Delta t + t_2 + t_3 $$
$$t= \Delta t [1 + (n-1) + \sqrt{n(n-1)}] $$
$$t = \Delta t [n + \sqrt{n(n-1)}]=10 \\,с$$
7. Состояние невесомости аппаратура в контейнере будет испытывать в течение времени
$$t_н =10 \\,с$$
</p>
<h4>
Ответ:
</h4>
<p>$$t = n\Delta t(1 + \sqrt{1 − 1/n}) \text{; }t_н \approx 10 \\,с$$</p>
<br>
<footer class="row container">
<br>
<p>
<small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
</p>
<p>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
</p>
</footer>
Savchenko Solutions