Updated greek laters @ latex compiling

astrosander edited Oct 6, 2024, 12:02 AM

View solution History

revision #10130 parent #9625 GitHub dbb31ba ← older newer →

ru/3.3.15.md +2 −2

			<!DOCTYPE html>
			<html lang="ru">

			<head>
			<meta charset="utf-8">
			<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
			<meta http-equiv="content-language" content="ru">
			<meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">
			<meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я.">
			<meta property="og:title" content="Решебник Савченко">
			<meta property="og:image" content="img/logo.png">
			<meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я.">
			<meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368">
			<title>Решебник Савченко</title>
			<link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css">
			<link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png">
			<script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script>
			<script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>
			<script type="text/x-mathjax-config">
			MathJax.Hub.Config({
			extensions: ['tex2jax.js'],
			jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'],
			tex2jax: {
			inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']],
			processEscapes: true,
			processClass: 'tex2jax',
			ignoreClass: 'html'
			},
			showProcessingMessages: false,
			messageStyle: 'none'
			});
			</script>
			</head>
			<body style="">
			<header style="text-align:center;">
			<a href="../../" style="text-decoration: none;">
			<div id="logo">
			<span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span>
			</div>
			</a>
			<p class="author">
			Solutions of Savchenko Problems in Physics <br>
			<i><b>knowledge must be free</b></i>
			</p>
			</header>

			<h3 id="back-link"><a href="../../ru#3.3">$\leftarrow$Назад</a></h3>

			<h3> Условие: </h3>

			<p>
			$3.3.15^*.$ Стрелок пытается попасть в диск радиуса $R$, который колеблется гармонически так быстро, что стрелок не может за ним уследить. Тогда он целится в центр области движения диска. С какой вероятностью стрелок попадет в диск, если амплитуда колебаний диска $a \gg R$? Если $A = 2R$? Увеличится ли вероятность попадания, если стрелок будет целиться в точку на расстоянии $R$ от края области?
			</p>
			<center>
			<figure>
			<img src="statement.png"
			loading="lazy" width="180" />
			<figcaption>
			К задаче 3.3.15
			</figcaption>
			</figure>
			</center>

			<h3> Решение: </h3>

			<p>
			Перед просмотр решения рекомендую посмотреть решение задачи с похожим условием <a href="../../ru/1/1.1.23" target="_blank">1.1.23</a>
			</p>


			<center>
			<figure>
			<img src="animation.gif" alt="1.1.23"
			loading="lazy" width="300" />
			<figcaption>
			Движение мешени
			</figcaption>
			</figure>
			</center>

			<p>
			$\text{a) }$Гармоническое движение мишени описывается уравнением
			$$x(t) = a \cos \omega t$$
			При этом период колебаний равен
			$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$
			Время за которое проходит цетр диска диапазон $[0; R]$ найдем как
			$$a \sin \omega t = R$$
			$$\sin \omega t = \frac{R}{a}$$
			Учитывая $a \gg R$, пользуемся приближением $\sin x \approx x$
			$$\omega t = \frac{R}{a}$$
			Откуда $t$
			$$t = \frac{R}{\omega a}$$
			Аналогично, время за которое проходит цетр диска диапазон $[-R; 0]$ равно
			$$t = \frac{R}{\omega a}$$
			Тогда, время за которое проходит цетр диска диапазон $[-R; R]$ составляет
			$$t = \frac{2R}{\omega a}$$
			Так как за время $T$ полного колебания, мишень проходит центр дважды, время в течении которого стрелок может попасть в мишень за промежуток $T$
		@@ -98,7 +98,7 @@
			$$\tau = \frac{4R}{\omega a}$$
			Отсюда вероятность попадания
			$$w = \frac{\tau}{T} = \frac{4R}{\omega a} \frac{\omega}{2\pi}$$
		−	$$\boxed{w = \frac{2R}{πa}}$$
		+	$$\boxed{w = \frac{2R}{\pi a}}$$
			$\text{b) }$Если $a = 2R$, то время за которое проходит цетр диска диапазон $[0; R]$ найдем как
			$$2R \sin \omega t = R$$
			$$\sin \omega t = \frac{1}{2}$$
			$$t = \frac{\pi}{6\omega}$$
			Так как за время $T$ полного колебания, мишень проходит центр дважды, время в течении которого стрелок может попасть в мишень за промежуток $T$
			$$\tau = 4t = \frac{4\pi}{6 \omega}$$
			Отсюда вероятность попадания
			$$w = \frac{\tau}{T} = \frac{2\pi}{3 \omega} \frac{\omega}{2\pi}$$
			$$\boxed{w=\frac{1}{3}}$$
			Приближаяся к краю, скорость мишень уменьшается, соответственно увеличивается время, которое ее "видит" охотник, откуда и увеличивается вероятность попадания
			</p>

		@@ -114,7 +114,7 @@
			<h4>
			Ответ:
			</h4>
		−	<p>$w = 2R/(πA)$ при $A \gg R$
		+	<p>$w = 2R/(\pi A)$ при $A \gg R$
			</p>
			<p>
			$w = 1/3$ при $A = 2R$. Увеличится.</p>
			<br>

			<footer class="row container">
			<br>
			<p>
			<small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
			</p>
			<p>
			<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
			</p>
			</footer>
			</body>

			</html>
		unchanged lines 14

	<!DOCTYPE html>		<!DOCTYPE html>
	<html lang="ru">		<html lang="ru">

	<head>		<head>
	<meta charset="utf-8">		<meta charset="utf-8">
	<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">		<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
	<meta http-equiv="content-language" content="ru">		<meta http-equiv="content-language" content="ru">
	<meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">		<meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">
	<meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я.">		<meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я.">
	<meta property="og:title" content="Решебник Савченко">		<meta property="og:title" content="Решебник Савченко">
	<meta property="og:image" content="img/logo.png">		<meta property="og:image" content="img/logo.png">
	<meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я.">		<meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я.">
	<meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368">		<meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368">
	<title>Решебник Савченко</title>		<title>Решебник Савченко</title>
	<link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css">		<link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css">
	<link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png">		<link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png">
	<script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script>		<script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script>
	<script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>		<script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>
	<script type="text/x-mathjax-config">		<script type="text/x-mathjax-config">
	MathJax.Hub.Config({		MathJax.Hub.Config({
	extensions: ['tex2jax.js'],		extensions: ['tex2jax.js'],
	jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'],		jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'],
	tex2jax: {		tex2jax: {
	inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']],		inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']],
	processEscapes: true,		processEscapes: true,
	processClass: 'tex2jax',		processClass: 'tex2jax',
	ignoreClass: 'html'		ignoreClass: 'html'
	},		},
	showProcessingMessages: false,		showProcessingMessages: false,
	messageStyle: 'none'		messageStyle: 'none'
	});		});
	</script>		</script>
	</head>		</head>
	<body style="">		<body style="">
	<header style="text-align:center;">		<header style="text-align:center;">
	<a href="../../" style="text-decoration: none;">		<a href="../../" style="text-decoration: none;">
	<div id="logo">		<div id="logo">
	<span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span>		<span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span>
	</div>		</div>
	</a>		</a>
	<p class="author">		<p class="author">
	Solutions of Savchenko Problems in Physics <br>		Solutions of Savchenko Problems in Physics <br>
	<i><b>knowledge must be free</b></i>		<i><b>knowledge must be free</b></i>
	</p>		</p>
	</header>		</header>

	<h3 id="back-link"><a href="../../ru#3.3">$\leftarrow$Назад</a></h3>		<h3 id="back-link"><a href="../../ru#3.3">$\leftarrow$Назад</a></h3>

	<h3> Условие: </h3>		<h3> Условие: </h3>

	<p>		<p>
	$3.3.15^*.$ Стрелок пытается попасть в диск радиуса $R$, который колеблется гармонически так быстро, что стрелок не может за ним уследить. Тогда он целится в центр области движения диска. С какой вероятностью стрелок попадет в диск, если амплитуда колебаний диска $a \gg R$? Если $A = 2R$? Увеличится ли вероятность попадания, если стрелок будет целиться в точку на расстоянии $R$ от края области?		$3.3.15^*.$ Стрелок пытается попасть в диск радиуса $R$, который колеблется гармонически так быстро, что стрелок не может за ним уследить. Тогда он целится в центр области движения диска. С какой вероятностью стрелок попадет в диск, если амплитуда колебаний диска $a \gg R$? Если $A = 2R$? Увеличится ли вероятность попадания, если стрелок будет целиться в точку на расстоянии $R$ от края области?
	</p>		</p>
	<center>		<center>
	<figure>		<figure>
	<img src="statement.png"		<img src="statement.png"
	loading="lazy" width="180" />		loading="lazy" width="180" />
	<figcaption>		<figcaption>
	К задаче 3.3.15		К задаче 3.3.15
	</figcaption>		</figcaption>
	</figure>		</figure>
	</center>		</center>

	<h3> Решение: </h3>		<h3> Решение: </h3>

	<p>		<p>
	Перед просмотр решения рекомендую посмотреть решение задачи с похожим условием <a href="../../ru/1/1.1.23" target="_blank">1.1.23</a>		Перед просмотр решения рекомендую посмотреть решение задачи с похожим условием <a href="../../ru/1/1.1.23" target="_blank">1.1.23</a>
	</p>		</p>


	<center>		<center>
	<figure>		<figure>
	<img src="animation.gif" alt="1.1.23"		<img src="animation.gif" alt="1.1.23"
	loading="lazy" width="300" />		loading="lazy" width="300" />
	<figcaption>		<figcaption>
	Движение мешени		Движение мешени
	</figcaption>		</figcaption>
	</figure>		</figure>
	</center>		</center>

	<p>		<p>
	$\text{a) }$Гармоническое движение мишени описывается уравнением		$\text{a) }$Гармоническое движение мишени описывается уравнением
	$$x(t) = a \cos \omega t$$		$$x(t) = a \cos \omega t$$
	При этом период колебаний равен		При этом период колебаний равен
	$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$		$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$
	Время за которое проходит цетр диска диапазон $[0; R]$ найдем как		Время за которое проходит цетр диска диапазон $[0; R]$ найдем как
	$$a \sin \omega t = R$$		$$a \sin \omega t = R$$
	$$\sin \omega t = \frac{R}{a}$$		$$\sin \omega t = \frac{R}{a}$$
	Учитывая $a \gg R$, пользуемся приближением $\sin x \approx x$		Учитывая $a \gg R$, пользуемся приближением $\sin x \approx x$
	$$\omega t = \frac{R}{a}$$		$$\omega t = \frac{R}{a}$$
	Откуда $t$		Откуда $t$
	$$t = \frac{R}{\omega a}$$		$$t = \frac{R}{\omega a}$$
	Аналогично, время за которое проходит цетр диска диапазон $[-R; 0]$ равно		Аналогично, время за которое проходит цетр диска диапазон $[-R; 0]$ равно
	$$t = \frac{R}{\omega a}$$		$$t = \frac{R}{\omega a}$$
	Тогда, время за которое проходит цетр диска диапазон $[-R; R]$ составляет		Тогда, время за которое проходит цетр диска диапазон $[-R; R]$ составляет
	$$t = \frac{2R}{\omega a}$$		$$t = \frac{2R}{\omega a}$$
	Так как за время $T$ полного колебания, мишень проходит центр дважды, время в течении которого стрелок может попасть в мишень за промежуток $T$		Так как за время $T$ полного колебания, мишень проходит центр дважды, время в течении которого стрелок может попасть в мишень за промежуток $T$
	@@ -98,7 +98,7 @@
	$$\tau = \frac{4R}{\omega a}$$		$$\tau = \frac{4R}{\omega a}$$
	Отсюда вероятность попадания		Отсюда вероятность попадания
	$$w = \frac{\tau}{T} = \frac{4R}{\omega a} \frac{\omega}{2\pi}$$		$$w = \frac{\tau}{T} = \frac{4R}{\omega a} \frac{\omega}{2\pi}$$
	$$\boxed{w = \frac{2R}{πa}}$$		$$\boxed{w = \frac{2R}{\pi a}}$$
	$\text{b) }$Если $a = 2R$, то время за которое проходит цетр диска диапазон $[0; R]$ найдем как		$\text{b) }$Если $a = 2R$, то время за которое проходит цетр диска диапазон $[0; R]$ найдем как
	$$2R \sin \omega t = R$$		$$2R \sin \omega t = R$$
	$$\sin \omega t = \frac{1}{2}$$		$$\sin \omega t = \frac{1}{2}$$
	$$t = \frac{\pi}{6\omega}$$		$$t = \frac{\pi}{6\omega}$$
	Так как за время $T$ полного колебания, мишень проходит центр дважды, время в течении которого стрелок может попасть в мишень за промежуток $T$		Так как за время $T$ полного колебания, мишень проходит центр дважды, время в течении которого стрелок может попасть в мишень за промежуток $T$
	$$\tau = 4t = \frac{4\pi}{6 \omega}$$		$$\tau = 4t = \frac{4\pi}{6 \omega}$$
	Отсюда вероятность попадания		Отсюда вероятность попадания
	$$w = \frac{\tau}{T} = \frac{2\pi}{3 \omega} \frac{\omega}{2\pi}$$		$$w = \frac{\tau}{T} = \frac{2\pi}{3 \omega} \frac{\omega}{2\pi}$$
	$$\boxed{w=\frac{1}{3}}$$		$$\boxed{w=\frac{1}{3}}$$
	Приближаяся к краю, скорость мишень уменьшается, соответственно увеличивается время, которое ее "видит" охотник, откуда и увеличивается вероятность попадания		Приближаяся к краю, скорость мишень уменьшается, соответственно увеличивается время, которое ее "видит" охотник, откуда и увеличивается вероятность попадания
	</p>		</p>

	@@ -114,7 +114,7 @@
	<h4>		<h4>
	Ответ:		Ответ:
	</h4>		</h4>
	<p>$w = 2R/(πA)$ при $A \gg R$		<p>$w = 2R/(\pi A)$ при $A \gg R$
	</p>		</p>
	<p>		<p>
	$w = 1/3$ при $A = 2R$. Увеличится.</p>		$w = 1/3$ при $A = 2R$. Увеличится.</p>
	<br>		<br>

	<footer class="row container">		<footer class="row container">
	<br>		<br>
	<p>		<p>
	<small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>		<small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
	</p>		</p>
	<p>		<p>
	<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>		<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
	</p>		</p>
	</footer>		</footer>
	</body>		</body>

	</html>		</html>
	unchanged lines 14