Added 3.3.10-11,15,19,7; Updated 3.3.6

astrosander edited
View solution History
revision #1761 GitHub 65a676f newer →
ru/3.3.15.md +129 −0
@@ -0,0 +1,129 @@
+<!DOCTYPE html>
+<html lang="ru">
+
+<head>
+ <meta charset="utf-8">
+ <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
+ <meta http-equiv="content-language" content="ru">
+ <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">
+ <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я.">
+ <meta property="og:title" content="Решебник Савченко">
+ <meta property="og:image" content="img/logo.png">
+ <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я.">
+ <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368">
+ <title>Решебник Савченко</title>
+ <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css">
+ <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png">
+ <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script>
+ <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>
+ <script type="text/x-mathjax-config">
+ MathJax.Hub.Config({
+ extensions: ['tex2jax.js'],
+ jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'],
+ tex2jax: {
+ inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']],
+ processEscapes: true,
+ processClass: 'tex2jax',
+ ignoreClass: 'html'
+ },
+ showProcessingMessages: false,
+ messageStyle: 'none'
+ });
+ </script>
+</head>
+ <body style="">
+ <header style="text-align:center;">
+ <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2>
+ <p class="author">
+ Aliaksandr Melnichenka <br/>
+ October 2023
+ </p>
+ </header>
+
+ <h3 id="back-link"><a href="../">$\leftarrow$Назад</a></h3>
+
+ <h3> Условие: </h3>
+
+ <p>
+ $3.3.15^*.$ Стрелок пытается попасть в диск радиуса $R$, который колеблется гармонически так быстро, что стрелок не может за ним уследить. Тогда он целится в центр области движения диска. С какой вероятностью стрелок попадет в диск, если амплитуда колебаний диска $a \gg R$? Если $A = 2R$? Увеличится ли вероятность попадания, если стрелок будет целиться в точку на расстоянии $R$ от края области?
+ </p>
+ <center>
+ <figure>
+ <img src="statement.png"
+ loading="lazy" width="180" />
+ <figcaption>
+ К задаче 3.3.15
+ </figcaption>
+ </figure>
+ </center>
+
+ <h3> Решение: </h3>
+
+ <p>
+ Перед просмотр решения рекомендую посмотреть решение задачи с похожим условием <a href="../../1/1.1.23" target="_blank">1.1.23</a>
+ </p>
+
+
+ <center>
+ <figure>
+ <img src="animation.gif" alt="1.1.23"
+ loading="lazy" width="300" />
+ <figcaption>
+ Движение мешени
+ </figcaption>
+ </figure>
+ </center>
+
+ <p>
+ $\text{a) }$Гармоническое движение мишени описывается уравнением
+ $$x(t) = a \cos \omega t$$
+ При этом период колебаний равен
+ $$T = \frac{2\pi}{\omega}$$
+ Время за которое проходит цетр диска диапазон $[0; R]$ найдем как
+ $$a \sin \omega t = R$$
+ $$\sin \omega t = \frac{R}{a}$$
+ Учитывая $a \gg R$, пользуемся приближением $\sin x \approx x$
+ $$\omega t = \frac{R}{a}$$
+ Откуда $t$
+ $$t = \frac{R}{\omega a}$$
+ Аналогично, время за которое проходит цетр диска диапазон $[-R; 0]$ равно
+ $$t = \frac{R}{\omega a}$$
+ Тогда, время за которое проходит цетр диска диапазон $[-R; R]$ составляет
+ $$t = \frac{2R}{\omega a}$$
+ Так как за время $T$ полного колебания, мишень проходит центр дважды, время в течении которого стрелок может попасть в мишень за промежуток $T$
+ $$\tau = \frac{4R}{\omega a}$$
+ Отсюда вероятность попадания
+ $$w = \frac{\tau}{T} = \frac{4R}{\omega a} \frac{\omega}{2\pi}$$
+ $$\boxed{w = \frac{2R}{πa}}$$
+ $\text{b) }$Если $a = 2R$, то время за которое проходит цетр диска диапазон $[0; R]$ найдем как
+ $$2R \sin \omega t = R$$
+ $$\sin \omega t = \frac{1}{2}$$
+ $$t = \frac{\pi}{6\omega}$$
+ Так как за время $T$ полного колебания, мишень проходит центр дважды, время в течении которого стрелок может попасть в мишень за промежуток $T$
+ $$\tau = 4t = \frac{4\pi}{6 \omega}$$
+ Отсюда вероятность попадания
+ $$w = \frac{\tau}{T} = \frac{2\pi}{3 \omega} \frac{\omega}{2\pi}$$
+ $$\boxed{w=\frac{1}{3}}$$
+ Приближаяся к краю, скорость мишень уменьшается, соответственно увеличивается время, которое ее "видит" охотник, откуда и увеличивается вероятность попадания
+ </p>
+
+ <h4>
+ Ответ:
+ </h4>
+ <p>$w = 2R/(πA)$ при $A \gg R$
+ </p>
+ <p>
+ $w = 1/3$ при $A = 2R$. Увеличится.</p>
+<br>
+
+ <footer class="row container">
+ <p>
+ <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
+ </p>
+ <p>
+ <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small>
+ </p>
+ </footer>
+ </body>
+
+</html>