а. Тело массы m, подвешенное на пружине, совершает колебания так,что наибольшее значение скорости равно v_0, а наибольшее отклонение от положения равновесия равно x_0. Определите жесткость пружины.<br><br>б. Скорость тела массы m, подвешенного на пружине и совершающего колебания, зависит от координаты тела x по закону v = v_0\sqrt{1-(x/x_0)^2}. Найдитезависимость силы, действующей на тело, и потенциальной энергии этого тела откоординаты x. Зависит ли полученный результат от природы силы, заставляющей тело двигаться по приведенному закону?

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#3.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $3.1.3.$ а. Тело массы $m$, подвешенное на пружине, совершает колебания так,

что наибольшее значение скорости равно $v_0$, а наибольшее отклонение от положения равновесия равно $x_0$. Определите жесткость пружины.


б. Скорость тела массы $m$, подвешенного на пружине и совершающего колебания, зависит от координаты тела $x$ по закону $v = v_0\sqrt{1-(x/x_0)^2}$. Найдите
зависимость силы, действующей на тело, и потенциальной энергии этого тела от
координаты $x$. Зависит ли полученный результат от природы силы, заставляющей тело двигаться по приведенному закону?

    <h3>Решение</h3>
    <p>
        Т.к. колебания являются гармоническими, то наибольшую скорость $v_0$ можно найти через наибольшее отклонение от положения равновесия $x_0$. Для этого возьмем производную от решения уравнения гармонических колебаний

$$v=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(x_0\sin\omega t\right)=x_0\omega \cos\omega t$$
Откуда следует, что наибольшая скорость $v_0$ равна
$$v_0=x_0\omega$$
Подставляя ранее полученное из 3.1.2 значение для цикловой частоты $\omega$ пружинного маятника $\left(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\right)$
$$v_0=x_0\sqrt{\frac{k}{m}}\Rightarrow\boxed{k=\frac{v_0^2m}{x_0^2}}$$
б) Возвращающей силой в данных гармонических колебаниях будет являться сила упругости пружины $F=-kx$, т.к в любом случае в обычном пружинном маятнике возвращающая сила равна силе упругости пружины. Тогда работу этой силы найдём как в 3.1.2:
$$\boxed{U=\frac{kx^2}{2}}$$

    </p>

    <h4>Ответ</h4>
    a. $k=mv_0^2/x_0^2$<br>

б. $F=-kx, ~U=kx^2/2, ~k=m(v_0/x_0)^2$

Нет, не зависит.
</>

Dzikan Mikita

<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>