Updated spacing between @ latex expressions

astrosander edited Oct 6, 2024, 12:48 AM

View solution History

revision #10501 parent #8962 GitHub c702ebe ← older

ru/3.1.5.md +1 −1

			<!DOCTYPE html>
			<html lang="ru">

			<head>
			<meta charset="utf-8">
			<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
			<meta http-equiv="content-language" content="ru">
			<meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">
			<meta name="description" content="Длина нити математического маятника l, масса шарика m. Определите силу, действующую на шарик, при отклонениях его от положения равновесияна x в случае, если x\ll l. Как зависит от x потенциальная энергия шарика?">
			<meta name="author" content="Aliaksandr Melnichenka">
			<meta name="date" content="2023-10" scheme="YYYY-MM">
			<meta property="og:title" content="Длина нити математического маятника l, масса шарика m. Определите силу, действующую на шарик, при отклонениях его от положения равновесияна x в случае, если x\ll l. Как зависит от x потенциальная энергия шарика?">
			<meta property="og:image" content="img/logo.png">
			<meta property="og:description" content="Длина нити математического маятника l, масса шарика m. Определите силу, действующую на шарик, при отклонениях его от положения равновесияна x в случае, если x\ll l. Как зависит от x потенциальная энергия шарика?">
			<meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368">
			<title>Длина нити математического маятника l, масса шарика m. Определите силу, действующую на шарик, при отклонениях его от положения равновесияна x в случае, если x\ll l. Как зависит от x потенциальная энергия шарика?</title>
			<link rel="stylesheet" href="https://savchenkosolutions.com/css/css-latex/style.css">
			<link rel="icon" href="https://savchenkosolutions.com/img/logo.png" type="image/png">
			<script src="https://savchenkosolutions.com/js/jquery-1.10.1.min.js"></script>
			<script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>
			<script type="text/x-mathjax-config">
			MathJax.Hub.Config({
			extensions: ['tex2jax.js'],
			jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'],
			tex2jax: {
			inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']],
			processEscapes: true,
			processClass: 'tex2jax',
			ignoreClass: 'html'
			},
			showProcessingMessages: false,
			messageStyle: 'none'
			});
			</script>
			</head>
			<body style="">
			<header style="text-align:center;">
			<a href="../../" style="text-decoration: none;">
			<div id="logo">
			<span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span>
			</div>
			</a>
			<p class="author">
			Solutions of Savchenko Problems in Physics <br>
			<i><b>knowledge must be free</b></i>
			</p>
			</header>

			<h3 id="back-link"><a href="../../ru#3.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

			<h3> Условие </h3>
			<p>
			$3.1.5.$ Длина нити математического маятника $l$, масса шарика $m$. Определите силу, действующую на шарик, при отклонениях его от положения равновесия
			на $x$ в случае, если $x\ll l$. Как зависит от $x$ потенциальная энергия шарика?
			</p>
			<center>
			<figure>
			<img src="statement.png"
			loading="lazy" width="130" />
			<figcaption>
			К задаче $3.1.5$
			</figcaption>
			</figure>
			</center>
			<p>
			</p>

			<h3>Решение</h3>
			<p>
			При отколонении маятника на него действует возвращающая сила $F$ действующая в направлении противоположной направлению скорости, которая является возвращающей и равной
			$$OX:F=-mg\sin\varphi=\fbox{$-mg\frac{x}{l}$}$$
		@@ -72,7 +72,7 @@
			Учитывая, что колебания явлеются гармоническими, то их амплитуда не большая, а величина отклонения много меньше длины нити: $(x\ll l)$. Воспользуемся выражением для малых углов $\cos\alpha\approx1-\frac{\alpha^2}{2};\quad\sin\alpha\approx\alpha$
			$$1-\cos\alpha\approx\frac{x^2}{2l^2}$$
			Изменение положения шарика по-вертикали
		−	$$\Delta h = l \cdot (1-\cos\alpha)=\frac{x^2}{2l}$$
		+	$$\Delta h = l \cdot (1-\cos\alpha )=\frac{x^2}{2l}$$
			Откуда изменение потенциальной энергии
			$$\Delta U = mg\cdot\Delta h = \boxed{mg\frac{x^2}{2l}}$$
			</p>
			<p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
			Aliaksandr Melnichenka
			</p>
			<h3>Альтернативное решение</h3>
			<p>
			Альтернативно, можно было бы рассписать изменение энергии как интеграл совершенной работы на промежутке $dx$:
			$$U=\int_{0}^{U}dU=\int_{0}^{x}mg\frac{x}{l}dx=\boxed{\frac{mgx^2}{2l}}$$
			</p>
			<p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
			Dzikan Mikita<br>
			</p>

			<h4>Ответ</h4>
			<p>
			$$F=-mg\frac{x}{l};\quad U=\frac{mgx^2}{2l}$$
			</p>



			<footer class="row container">
			<br>
			<p>
			<small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
			</p>
			<p>
			<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
			</p>
			</footer>
			</body>

			</html>
		unchanged lines 31

	<!DOCTYPE html>		<!DOCTYPE html>
	<html lang="ru">		<html lang="ru">

	<head>		<head>
	<meta charset="utf-8">		<meta charset="utf-8">
	<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">		<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
	<meta http-equiv="content-language" content="ru">		<meta http-equiv="content-language" content="ru">
	<meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">		<meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">
	<meta name="description" content="Длина нити математического маятника l, масса шарика m. Определите силу, действующую на шарик, при отклонениях его от положения равновесияна x в случае, если x\ll l. Как зависит от x потенциальная энергия шарика?">		<meta name="description" content="Длина нити математического маятника l, масса шарика m. Определите силу, действующую на шарик, при отклонениях его от положения равновесияна x в случае, если x\ll l. Как зависит от x потенциальная энергия шарика?">
	<meta name="author" content="Aliaksandr Melnichenka">		<meta name="author" content="Aliaksandr Melnichenka">
	<meta name="date" content="2023-10" scheme="YYYY-MM">		<meta name="date" content="2023-10" scheme="YYYY-MM">
	<meta property="og:title" content="Длина нити математического маятника l, масса шарика m. Определите силу, действующую на шарик, при отклонениях его от положения равновесияна x в случае, если x\ll l. Как зависит от x потенциальная энергия шарика?">		<meta property="og:title" content="Длина нити математического маятника l, масса шарика m. Определите силу, действующую на шарик, при отклонениях его от положения равновесияна x в случае, если x\ll l. Как зависит от x потенциальная энергия шарика?">
	<meta property="og:image" content="img/logo.png">		<meta property="og:image" content="img/logo.png">
	<meta property="og:description" content="Длина нити математического маятника l, масса шарика m. Определите силу, действующую на шарик, при отклонениях его от положения равновесияна x в случае, если x\ll l. Как зависит от x потенциальная энергия шарика?">		<meta property="og:description" content="Длина нити математического маятника l, масса шарика m. Определите силу, действующую на шарик, при отклонениях его от положения равновесияна x в случае, если x\ll l. Как зависит от x потенциальная энергия шарика?">
	<meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368">		<meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368">
	<title>Длина нити математического маятника l, масса шарика m. Определите силу, действующую на шарик, при отклонениях его от положения равновесияна x в случае, если x\ll l. Как зависит от x потенциальная энергия шарика?</title>		<title>Длина нити математического маятника l, масса шарика m. Определите силу, действующую на шарик, при отклонениях его от положения равновесияна x в случае, если x\ll l. Как зависит от x потенциальная энергия шарика?</title>
	<link rel="stylesheet" href="https://savchenkosolutions.com/css/css-latex/style.css">		<link rel="stylesheet" href="https://savchenkosolutions.com/css/css-latex/style.css">
	<link rel="icon" href="https://savchenkosolutions.com/img/logo.png" type="image/png">		<link rel="icon" href="https://savchenkosolutions.com/img/logo.png" type="image/png">
	<script src="https://savchenkosolutions.com/js/jquery-1.10.1.min.js"></script>		<script src="https://savchenkosolutions.com/js/jquery-1.10.1.min.js"></script>
	<script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>		<script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>
	<script type="text/x-mathjax-config">		<script type="text/x-mathjax-config">
	MathJax.Hub.Config({		MathJax.Hub.Config({
	extensions: ['tex2jax.js'],		extensions: ['tex2jax.js'],
	jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'],		jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'],
	tex2jax: {		tex2jax: {
	inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']],		inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']],
	processEscapes: true,		processEscapes: true,
	processClass: 'tex2jax',		processClass: 'tex2jax',
	ignoreClass: 'html'		ignoreClass: 'html'
	},		},
	showProcessingMessages: false,		showProcessingMessages: false,
	messageStyle: 'none'		messageStyle: 'none'
	});		});
	</script>		</script>
	</head>		</head>
	<body style="">		<body style="">
	<header style="text-align:center;">		<header style="text-align:center;">
	<a href="../../" style="text-decoration: none;">		<a href="../../" style="text-decoration: none;">
	<div id="logo">		<div id="logo">
	<span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span>		<span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span>
	</div>		</div>
	</a>		</a>
	<p class="author">		<p class="author">
	Solutions of Savchenko Problems in Physics <br>		Solutions of Savchenko Problems in Physics <br>
	<i><b>knowledge must be free</b></i>		<i><b>knowledge must be free</b></i>
	</p>		</p>
	</header>		</header>

	<h3 id="back-link"><a href="../../ru#3.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>		<h3 id="back-link"><a href="../../ru#3.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

	<h3> Условие </h3>		<h3> Условие </h3>
	<p>		<p>
	$3.1.5.$ Длина нити математического маятника $l$, масса шарика $m$. Определите силу, действующую на шарик, при отклонениях его от положения равновесия		$3.1.5.$ Длина нити математического маятника $l$, масса шарика $m$. Определите силу, действующую на шарик, при отклонениях его от положения равновесия
	на $x$ в случае, если $x\ll l$. Как зависит от $x$ потенциальная энергия шарика?		на $x$ в случае, если $x\ll l$. Как зависит от $x$ потенциальная энергия шарика?
	</p>		</p>
	<center>		<center>
	<figure>		<figure>
	<img src="statement.png"		<img src="statement.png"
	loading="lazy" width="130" />		loading="lazy" width="130" />
	<figcaption>		<figcaption>
	К задаче $3.1.5$		К задаче $3.1.5$
	</figcaption>		</figcaption>
	</figure>		</figure>
	</center>		</center>
	<p>		<p>
	</p>		</p>

	<h3>Решение</h3>		<h3>Решение</h3>
	<p>		<p>
	При отколонении маятника на него действует возвращающая сила $F$ действующая в направлении противоположной направлению скорости, которая является возвращающей и равной		При отколонении маятника на него действует возвращающая сила $F$ действующая в направлении противоположной направлению скорости, которая является возвращающей и равной
	$$OX:F=-mg\sin\varphi=\fbox{$-mg\frac{x}{l}$}$$		$$OX:F=-mg\sin\varphi=\fbox{$-mg\frac{x}{l}$}$$
	@@ -72,7 +72,7 @@
	Учитывая, что колебания явлеются гармоническими, то их амплитуда не большая, а величина отклонения много меньше длины нити: $(x\ll l)$. Воспользуемся выражением для малых углов $\cos\alpha\approx1-\frac{\alpha^2}{2};\quad\sin\alpha\approx\alpha$		Учитывая, что колебания явлеются гармоническими, то их амплитуда не большая, а величина отклонения много меньше длины нити: $(x\ll l)$. Воспользуемся выражением для малых углов $\cos\alpha\approx1-\frac{\alpha^2}{2};\quad\sin\alpha\approx\alpha$
	$$1-\cos\alpha\approx\frac{x^2}{2l^2}$$		$$1-\cos\alpha\approx\frac{x^2}{2l^2}$$
	Изменение положения шарика по-вертикали		Изменение положения шарика по-вертикали
	$$\Delta h = l \cdot (1-\cos\alpha)=\frac{x^2}{2l}$$		$$\Delta h = l \cdot (1-\cos\alpha )=\frac{x^2}{2l}$$
	Откуда изменение потенциальной энергии		Откуда изменение потенциальной энергии
	$$\Delta U = mg\cdot\Delta h = \boxed{mg\frac{x^2}{2l}}$$		$$\Delta U = mg\cdot\Delta h = \boxed{mg\frac{x^2}{2l}}$$
	</p>		</p>
	<p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">		<p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
	Aliaksandr Melnichenka		Aliaksandr Melnichenka
	</p>		</p>
	<h3>Альтернативное решение</h3>		<h3>Альтернативное решение</h3>
	<p>		<p>
	Альтернативно, можно было бы рассписать изменение энергии как интеграл совершенной работы на промежутке $dx$:		Альтернативно, можно было бы рассписать изменение энергии как интеграл совершенной работы на промежутке $dx$:
	$$U=\int_{0}^{U}dU=\int_{0}^{x}mg\frac{x}{l}dx=\boxed{\frac{mgx^2}{2l}}$$		$$U=\int_{0}^{U}dU=\int_{0}^{x}mg\frac{x}{l}dx=\boxed{\frac{mgx^2}{2l}}$$
	</p>		</p>
	<p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">		<p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
	Dzikan Mikita<br>		Dzikan Mikita<br>
	</p>		</p>

	<h4>Ответ</h4>		<h4>Ответ</h4>
	<p>		<p>
	$$F=-mg\frac{x}{l};\quad U=\frac{mgx^2}{2l}$$		$$F=-mg\frac{x}{l};\quad U=\frac{mgx^2}{2l}$$
	</p>		</p>



	<footer class="row container">		<footer class="row container">
	<br>		<br>
	<p>		<p>
	<small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>		<small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
	</p>		</p>
	<p>		<p>
	<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>		<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
	</p>		</p>
	</footer>		</footer>
	</body>		</body>

	</html>		</html>
	unchanged lines 31