В Земле прорыт прямой тоннель, не проходящий через ее центр.Определите время движения поезда с выключенными двигателями по такомутоннелю, если влиянием вращения Земли на движение поезда и трением пренебречь.

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#3.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $3.2.13.$ В Земле прорыт прямой тоннель, не проходящий через ее центр.

Определите время движения поезда с выключенными двигателями по такому
тоннелю, если влиянием вращения Земли на движение поезда и трением пренебречь.

    <h3>Решение</h3>
    <p>

Аналогично 3.2.12, внешнюю силу $F$ найдём как

На тело, на расстоянии $x$ от ядра, будет действовать гравитационная сила притяжения вызванная внутренними слоями планеты плотности $\rho$, образующих шар радиуса $x$. Масса этой части земли
$$M_\oplus = \frac{4}{3} \rho\pi x^3$$
Гравитационная сила, дествующая на камень на глубине $x$
$$F_G = \frac{GmM_\oplus}{x^2}=mg\frac{x}{R}$$

При этом только горизонтальная компонента этой силы будет создавать момент. Откуда, результирующая внешняя сила равна
$$F=mg\cos\alpha =mg\frac{x}{R}$$
Отсюда находим угловую частоту колебаний
$$\omega =\sqrt{\frac{g}{R}}$$
Период колебаний в данной системе
$$T=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$$
Т.к. нас интересует время полёта только в одну сторону, поэтому берём половину этого периода
$$\boxed{t=\frac{T}{2}=\pi\sqrt{\frac{R}{g}}\approx42\text{ min}}$$

Dzikan Mikita

Aliaksandr Kanashenka

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$t=42\text{ min}$$
    </p>


<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>