Решебник Савченко
<h3 id="back-link"><a href="/ru#4.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p>
$4.1.22.$ Под каким углом к горизонту расположится поверхность жидкости в сосуде, скользящем по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha $ с горизонтом, если коэффициент трения равен $\mu$?
</p>
<h3> Решение: </h3>
<p>
Для начала, решим вспомогательную задачу
</p>
<p style="font-family: monospace; ">
На тележке стоит сосуд с жидкостью; тележка движется без трения с ускорением $a$ в горизонтальном направлении. Определить форму поверхности жидкости
</p>
<center>
<figure>
<img src="draw.png"
loading="lazy" width="200" />
</figure>
</center>
<p>Выделим мысленно малый объем жидкости массой ту самой поверхности (рис.). При установившемся движении этот малый объем движется, как и вся тележка, с ускорением $a$. Силы, действующие на объем массой $m$, должны давать равнодействующую, равную $ma$, направленную в сторону ускорения. Этими силами будут сила тяжести $mg$ и сила реакции $N$ нижележащих слоев, нормальная к поверхности жидкости. Сила $N$ должна иметь такой модуль и направление, чтобы равнодействующая сил $N$ и $mg$ была равна $ma$. Тогда из треугольника $ABC$ мы будем иметь соотношение $ma = mg \tan \alpha$, откуда
$$\boxed{\tan \alpha = a/g}$$
Следовательно, поверхность жидкости, перпендикулярная к силе реакции $N$, должна составлять с горизонтом угол $\alpha$, определяемый этим соотношением.
</p>
<p>
Теперь вернемся к исходной задаче
</p>
<center>
<figure>
<img src="draw1.png"
loading="lazy" width="200" />
</figure>
</center>
<p>
Теперь вернемся к исходной задаче
</p>
<p>
Ускорение сосуда, скользящего по наклонной плоскости, определяется формулой
$$a = g ( \sin \alpha - \mu \cos \alpha)$$
и направлено вдоль наклонной плоскости.
</p>
<p>
Рассмотрим воду в системе отсчета, связанной с сосудом. Естественно, эта система неинерциальная. Можно ввести эффективное ускорение свободного падения $\vec{g}^{*} = \vec{g} - \vec{a}$. Поверхность воды перпендикулярна вектору $\vec{g}^{*}$ (так как в этой системе вода покоится). Из рисунка следует, что искомый угол $\beta$ определяется
$$\tan \beta = \frac{g \sin \alpha - a}{ g \cos \alpha} = \mu$$
Относительно горизонта, угол будет составлять
$$\boxed{\delta = \alpha − \arctan \mu}$$
</p>
<h4>
Ответ:
</h4>
<p>$$\beta = \alpha − \arctan \mu$$</p>
<footer class="row container">
<br>
<p>
<small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
</p>
<p>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
</p>
</footer>
Savchenko Solutions