3.1.9 | revision #10576 | Savchenko Solutions

Шарик массы m и радиуса r скользит по поверхности лунки, радиускривизны которой R. Найдите зависимость потенциальной энергии шарика отмалого смещения x из положения равновесия.

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#3.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $3.1.9.$ Шарик массы $m$ и радиуса $r$ скользит по поверхности лунки, радиус

кривизны которой $$R$$ . Найдите зависимость потенциальной энергии шарика от
малого смещения $$x$$ из положения равновесия.

    <h3>Решение</h3>
    <p>
        Также как и в <a href="/3.1.5">3.1.5</a>, предложим два варианта решения: через малые преращения и через интегрирование</p><p>

При отклонении тела по горизонтали на малую величину $$x$$ , его высота изменяется на величину
$h=R'-\sqrt{{R'}^2-x^2}=R'\left(1-\sqrt{1-\frac{x^2}{{R'}^2}}\right)\quad(1)$
Где $$R'$$ — расстояние от центра кривизны до центра масс шарика
$$$R'=R-r$$$
Учитывая, малость $$x$$
$x\ll R'\Leftrightarrow \frac{x}{R'}\ll 1$
Так мы можем воспользоваться approximation $(1+\xi )^a\approx 1+\xi a$ , где $\xi\ll 1$
$\left(1-\frac{x^2}{{R'}^2}\right)^{1/2}=1-\frac{x^2}{2{R'}^2}$
Подставляем в $$(1)$$
$h=R'\cdot \frac{x^2}{2{R'}^2}=\frac{x^2}{2R'}$
Подставляем в формулу для потенциальной энергии
$U=mgh=mg\frac{x^2}{2R'}$
Подставляя значение для $$R'$$ , получаем финальное выражение
$\boxed{U=\frac{mgx^2}{2(R-r)}}$

Aliaksandr Melnichenka

Альтернативное решение

Именение энергии при малом изменении координаты можно найти по определению $$$dU=Fdx$$$ При этом горизонатльная сила, которая будет возвращать шарик в устойчивое равновесие найдём с учётом малости угла $\varphi$ $F=mg\sin\varphi=mg\frac{x}{R-r}$ Откуда потенциальную энергию найдём через интегрирование $$dU$$ $U=\int_{0}^{U}dU=\int_{0}^{x}mg\frac{x}{R-r}dx=\frac{mg}{R-r}\int_{0}^{x}xdx$ Данный интеграл решается как $\int_{0}^{x}xdx=\frac{mg}{R-r}\cdot\frac{x^2}{2}$ Откуда потенциальная энергия шарика $\boxed{U=\frac{mgx^2}{2(R-r)}}$

Dzikan Mikita

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$U=\frac{mgx^2}{2(R-r)}$$
    </p>


<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>