Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие: </h3>

    <p>     
     $2.1.60^*.$ Из тонкого резинового жгута массы $m$ и жесткости $k$ сделали кольцо радиуса $R_0$. Это кольцо раскрутили вокруг его оси. Найдите новый радиус кольца, если угловая скорость его вращения равна $\omega$
   </p>

  <h3> Решение: </h3>
  <p>
  	Рассмотрим маленький кусочек жгута длины $dl = 2\alpha R$
  </p>
    <center>
      <figure>
        <img src="draw.png"
          loading="lazy" width="280" />
        <figcaption>
           Силы, действующие на меленький кусочек жгута
        </figcaption>
      </figure>
    </center>
  <p>
  	На кусочек жгута действуют силы натяжения 
  	$$T_1 = T_2 = 2k\alpha (R-R_0)$$
  	При учитывая $\sin\alpha\approx \alpha$ при малых углах
  	$$T_{н} = 2T\alpha$$
  	В силу однородности жгута, кусочек длины $dl = 2\alpha R$ будет иметь массу
  	$$dm = m \frac{\alpha}{\pi}$$
  	При этом на него будет действовать ценстростремительное ускорение 
  	$$a = \omega^2 R$$
  	Второй закон Ньютона запишем как
  	$$dma = T_{н}$$
  	$$m \frac{1}{\pi} \omega^2 R = 4k (R-R_0)\alpha$$
	Откуда находим $R$
 	$$\boxed{R = \frac{R_0}{1 − m \omega^2 /4 \pi^2 k}}$$
 	Анализируя полученное полученное выражение, при $R< R_0$ будет действовать результирующая сила упругости $\vec{T}_{н}$ направленная на расстяжение, которое не будет компенсировать центробежной силой. Таким образом, жгут будет бесконечно растягиваться и в конечном счёте разорвётся. 
  </p>



     <h3> Ответ: </h3>
     <p>
     	$R = R_0/(1 − m \omega^2 /4 \pi^2 k)$ при $\omega < 2\pi\sqrt{k/m};$ 
     </p>
     <p>
     	при $\omega\geq 2\pi\sqrt {k/m}$ кольцо неограниченно растягивается
	</p>

    <h3>
    	Альтернативное решение:
    </h3>
    <div class="video-container">
        <iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/a1x-LW89qfE" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
    </div>	



    <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">   
      Aliaksandr Melnichenka<br>
    </p>
        <footer class="row container">
    <br>

    <p>
        <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>