| <!DOCTYPE html> | | <!DOCTYPE html> |
| <html lang="ru"> | | <html lang="ru"> |
| | | |
| <head> | | <head> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> | | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> | | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| <title>Решебник Савченко</title> | | <title>Решебник Савченко</title> |
| <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> | | <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> |
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> | | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> |
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }); | | }); |
| </script> | | </script> |
| </head> | | </head> |
| <body style=""> | | <body style=""> |
| <header style="text-align:center;"> | | <header style="text-align:center;"> |
| <a href="../../" style="text-decoration: none;"> | | <a href="../../" style="text-decoration: none;"> |
| <div id="logo"> | | <div id="logo"> |
| <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> | | <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> |
| </div> | | </div> |
| </a> | | </a> |
| <p class="author"> | | <p class="author"> |
| Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> | | Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> |
| <i><b>knowledge must be free</b></i> | | <i><b>knowledge must be free</b></i> |
| </p> | | </p> |
| </header> | | </header> |
| | | |
| <h3 id="back-link"><a href="../../ru#2.5">$\leftarrow$Назад</a></h3> | | <h3 id="back-link"><a href="../../ru#2.5">$\leftarrow$Назад</a></h3> |
| | | |
| <h3> Условие: </h3> | | <h3> Условие: </h3> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| $2.5.34^*.$ Частица массы $m$ с импульсом $p$ распадается на две одинаковые частицы. Каков максимальный угол разлета вторичных частиц, если при распаде выделяется энергия $E$? | | $2.5.34^*.$ Частица массы $m$ с импульсом $p$ распадается на две одинаковые частицы. Каков максимальный угол разлета вторичных частиц, если при распаде выделяется энергия $E$? |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <h3> Решение: </h3> | | <h3> Решение: </h3> |
| <p> | | <p> |
| В системе центра масс этот распад выглядит так: начальное тело массой $m_1+m_2$ неподвижно, частица 1 и частица 2 разлетаются в противоположные стороны, так как векторная сумма импульсов должна дать 0: (импульсы в центре масс обозначаю индексом с) | | В системе центра масс этот распад выглядит так: начальное тело массой $m_1+m_2$ неподвижно, частица 1 и частица 2 разлетаются в противоположные стороны, так как векторная сумма импульсов должна дать 0: (импульсы в центре масс обозначаю индексом с) |
| $$ | | $$ |
| \vec p_{1c}+\vec p_{2c}=m_1\vec v_{1c}+m_2\vec v_{2c}=0\Rightarrow m_1v_{1c}=m_2v_{2c} | | \vec p_{1c}+\vec p_{2c}=m_1\vec v_{1c}+m_2\vec v_{2c}=0\Rightarrow m_1v_{1c}=m_2v_{2c} |
| $$ | | $$ |
| </p> | | </p> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="draw1.png" | | <img src="draw1.png" |
| loading="lazy" width="250" /> | | loading="lazy" width="250" /> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| <p> | | <p> |
| А теперь нужно использовать условие максимальности угла. Сначала учтем, что скорость тела 1 в изначальной системе отсчета: (можно рассматривать и вектор скорости первого тела - разницы нет) | | А теперь нужно использовать условие максимальности угла. Сначала учтем, что скорость тела 1 в изначальной системе отсчета: (можно рассматривать и вектор скорости первого тела - разницы нет) |
| $$ | | $$ |
| \vec v_1=\vec v_{1c}+\vec v | | \vec v_1=\vec v_{1c}+\vec v |
| $$ | | $$ |
| Построим треугольник векторов: (угол $\alpha_2$ как известно - угол между вектором скорости начального тела и второго тела в изначальной системе) | | Построим треугольник векторов: (угол $\alpha_2$ как известно - угол между вектором скорости начального тела и второго тела в изначальной системе) |
| </p> | | </p> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="draw2.png" | | <img src="draw2.png" |
| loading="lazy" width="250" /> | | loading="lazy" width="250" /> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| <p> | | <p> |
| Вектор $\vec v_1$ должен являться касательной к окружности (условие максимальности угла), по радиусу которого направлен вектор $\vec v_{1c}$: | | Вектор $\vec v_1$ должен являться касательной к окружности (условие максимальности угла), по радиусу которого направлен вектор $\vec v_{1c}$: |
| </p> | | </p> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="draw3.png" | | <img src="draw3.png" |
| loading="lazy" width="250" /> | | loading="lazy" width="250" /> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| <p> | | <p> |
| Отсюда ясно, что | | Отсюда ясно, что |
| <div class="scroll-wrapper"> | | <div class="scroll-wrapper"> |
| $$ | | $$ |
| v_{1c}=v\sin\alpha_1\Rightarrow v_{2c}=\left (\frac{m_1}{m_2}\right)v_{1c}=\left (\frac{m_1}{m_2}\right)v\sin\alpha_1 | | v_{1c}=v\sin\alpha_1\Rightarrow v_{2c}=\left (\frac{m_1}{m_2}\right)v_{1c}=\left (\frac{m_1}{m_2}\right)v\sin\alpha_1 |
| $$ | | $$ |
| </div> | | </div> |
| Разность энергий: | | Разность энергий: |
| $$ | | $$ |
| \Delta E=E'-E_0 | | \Delta E=E'-E_0 |
| $$ | | $$ |
| Так как в системе центра начальное тело массой $m_1+m_2$ неподвижно, то $E_0=0\Rightarrow\Delta E=E'$ | | Так как в системе центра начальное тело массой $m_1+m_2$ неподвижно, то $E_0=0\Rightarrow\Delta E=E'$ |
| $$ | | $$ |
| E'=\frac{m_1v_{1c}^2}{2}+\frac{m_2c_{2c}^2}{2}$$ | | E'=\frac{m_1v_{1c}^2}{2}+\frac{m_2c_{2c}^2}{2}$$ |
| $$E'=\frac{m_1(v\sin\alpha_1)^2}{2}+\frac{m_1^2(v\sin\alpha_1)^2}{2m_2}$$ | | $$E'=\frac{m_1(v\sin\alpha_1)^2}{2}+\frac{m_1^2(v\sin\alpha_1)^2}{2m_2}$$ |
| $$E'=\frac{m_1(v\sin\alpha_1)^2}{2}\left(1+\frac{m_1}{m_2}\right) | | $$E'=\frac{m_1(v\sin\alpha_1)^2}{2}\left(1+\frac{m_1}{m_2}\right) |
| $$ | | $$ |
| $E'$ можно выразить и через $v_2$: (надо повторить то, что было сделано выше, только со вторым телом) | | $E'$ можно выразить и через $v_2$: (надо повторить то, что было сделано выше, только со вторым телом) |
| $$ | | $$ |
| E'=\frac{m_2(v\sin\alpha_2)^2}{2}\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right) | | E'=\frac{m_2(v\sin\alpha_2)^2}{2}\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right) |
| $$ | | $$ |
| Отсюда приравняв эти два выражения для конечной энергии в системе центра можно получить связь между углами и массами тел: | | Отсюда приравняв эти два выражения для конечной энергии в системе центра можно получить связь между углами и массами тел: |
| $$ | | $$ |
| \frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}=\frac{m_2}{m_1} | | \frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}=\frac{m_2}{m_1} |
| $$ | | $$ |
| Дальше воспользоваться тем, что начальная энергия в изначальной системе задана и прийти к конечному ответу: | | Дальше воспользоваться тем, что начальная энергия в изначальной системе задана и прийти к конечному ответу: |
| $$ | | $$ |
| K=\frac{(m_1+m_2)v^2}{2} \Rightarrow \Delta E=E'=K\sin\alpha_1\sin\alpha_2 | | K=\frac{(m_1+m_2)v^2}{2} \Rightarrow \Delta E=E'=K\sin\alpha_1\sin\alpha_2 |
| $$ | | $$ |
| </p> | | </p> |
| <h4> | | <h4> |
| Ответ: | | Ответ: |
| </h4> | | </h4> |
| <p>$\cos\alpha =(p^2-2mE)/(p^2+2mE)$, если $2mE< p^2$ | | <p>$\cos\alpha =(p^2-2mE)/(p^2+2mE)$, если $2mE< p^2$ |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
