Определите индукцию магнитного поля на оси контура, магнитный момент которого M, на больших расстояниях h в случаях, когда контур представляет собой окружность, квадрат, правильный треугольник.

Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#9.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие </h3>
    <p>
        $9.2.16.$ Определите индукцию магнитного поля на оси контура, магнитный момент которого $M$, на больших расстояниях $h$ в случаях, когда контур представляет собой окружность, квадрат, правильный треугольник.
    </p>

    <h3>Решение</h3>
    <p>
        Для круга магнитный момент

$$M = \pi IR^2$$
Магнитное поле на оси кольца (см. 9.2.10)
$$B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+h^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 M}{2\pi (R^2 + h^2)^{3/2}} \approx \frac{\mu_0 M}{2\pi h^3}$$
Для больших расстояний форма контура, очевидно, не важна, тогда
$$B = \frac{\mu_0 M}{2\pi h^3}$$
Для неверующих докажем это, пусть у нас есть правильный $n$ угольник, описанный около окружность радиуса $r$, сторона многоугольника $a$, его магнитный момент
$$M = \frac{1}{2}narI$$
Найдём проекцию индукции стороны на ось:
$$B_i = \int dB = \int\limits_0^a\frac{\mu_0 I dx}{4\pi (h^2+r^2)} \cdot \frac{r}{\sqrt{h^2+r^2}}$$
$$B_i = \frac{\mu_0 Ir}{4\pi}\int\limits_0^a \frac{dx}{(h^2 + r^2)^{3/2}}$$
в приближение $r\ll h$ получим
$$B_i \approx \frac{\mu_0 Ir}{4\pi}\int\limits_0^a \frac{dx}{h^3} = \frac{\mu_0 Ira}{4\pi h^3}$$
Просуммируем $B_i$, получим:
$$B = \frac{\mu_0 Iran}{4\pi h^3} = \frac{\mu_0 2M}{4\pi h^3} \Rightarrow \boxed{B= \frac{\mu_0 M}{2\pi h^3}}$$
А вы не верили!

    <h4>Ответ</h4>
    <p>
        $$B = \frac{\mu_0 M}{2\pi h^3}$$
    </p>
    <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
      Andrei Yersh<br>
    </p>


<footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>