Updated 6.1.11

astrosander edited
View solution History
revision #11485 parent #11438 GitHub ce98709 ← older newer →
ru/6.1.11.md +100 −114
@@ -1,46 +1,40 @@
−<html>
− <head>
− <title>Решебник Савченко</title>
−
− <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">
− <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я.">
− <meta http-equiv="content-language" content="ru">
− <meta charset="utf-8">
− <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
− <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"/>
− <meta property="og:image" content="img/logo.png">
− <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сбоника задач Савенко О.Я.">
− <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368" />
+<!DOCTYPE html>
+<html lang="ru">
− <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/css-latex/style.css">
− <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png" />
−
− <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script>
−
− <script type="text/javascript" async
− src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML">
− </script>
−
− <!-- MathJax configuration -->
− <script type="text/x-mathjax-config">
− MathJax.Hub.Config({
− extensions: ['tex2jax.js'],
− jax: ['input/TeX','output/HTML-CSS'],
− tex2jax: {
− inlineMath: [ ['$','$'], ['\\(','\\)'] ],
− processEscapes: true,
− processClass: 'tex2jax',
− ignoreClass: 'html'
− },
− showProcessingMessages: false,
− messageStyle: 'none'
− });
− </script>
− </head>
−
− <body style="">
− <div class="container row">
− <div class="col flash"> <header class = "margin-main" style="text-align:center;">
+<head>
+ <meta charset="utf-8">
+ <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
+ <meta http-equiv="content-language" content="ru">
+ <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник">
+ <meta name="description" content="Четыре положительных заряда Q, q, Q, q связаны четырьмя нитямитак, как показано на рисунке. Длина каждой нити \ell. Определите углы между нитями.">
+ <meta name="author" content="Aliaksandr Melnichenka">
+ <meta name="date" content="2023-10" scheme="YYYY-MM">
+ <meta property="og:title" content="Четыре положительных заряда Q, q, Q, q связаны четырьмя нитямитак, как показано на рисунке. Длина каждой нити \ell. Определите углы между нитями.">
+ <meta property="og:image" content="img/logo.png">
+ <meta property="og:description" content="Четыре положительных заряда Q, q, Q, q связаны четырьмя нитямитак, как показано на рисунке. Длина каждой нити \ell. Определите углы между нитями.">
+ <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368">
+ <title>Четыре положительных заряда Q, q, Q, q связаны четырьмя нитямитак, как показано на рисунке. Длина каждой нити \ell. Определите углы между нитями.</title>
+ <link rel="stylesheet" href="https://savchenkosolutions.com/css/css-latex/style.css">
+ <link rel="icon" href="https://savchenkosolutions.com/img/logo.png" type="image/png">
+ <script src="https://savchenkosolutions.com/js/jquery-1.10.1.min.js"></script>
+ <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script>
+ <script type="text/x-mathjax-config">
+ MathJax.Hub.Config({
+ extensions: ['tex2jax.js'],
+ jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'],
+ tex2jax: {
+ inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']],
+ processEscapes: true,
+ processClass: 'tex2jax',
+ ignoreClass: 'html'
+ },
+ showProcessingMessages: false,
+ messageStyle: 'none'
+ });
+ </script>
+</head>
+ <body style="">
+ <header style="text-align:center;">
<a href="../../" style="text-decoration: none;">
<div id="logo">
<span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span>
@@ -50,94 +44,86 @@
Solutions&nbsp;of&nbsp;Savchenko Problems&nbsp;in&nbsp;Physics <br>
<i><b>knowledge must be free</b></i>
</p>
− </header>
− </div>
−
− <div id="main" class="col col-lg-9">
− <div class="row">
− <div class="col caption">
− <h2>
− <a href="../../ru#6.1">←Назад</a>
− </h2>
− </div>
− </div>
+ </header>
+ <h3 id="back-link"><a href="../../ru#6.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>
− <div id="1" class="row odd">
+ <h3> Условие </h3>
+ <p>
+ $6.1.11.$ Четыре положительных заряда $Q, q, Q, q$ связаны четырьмя нитямитак, как показано на рисунке. Длина каждой нити $\ell$. Определите углы между нитями.
+</p>
+<center>
+ <figure>
+ <img src="statement.png"
+ loading="lazy" width="230" />
+ <figcaption>
+ К задаче $6.1.11$
+ </figcaption>
+ </figure>
+</center>
+<p>
+ </p>
− <div class="col col-lg-12">
− <h3>
− Условие:
− </h3>
− <div class="task">
− <p>
− 6.1.11. Четыре положительных заряда $Q, q, Q, q$ связаны четырьмя нитями
−так, как показано на рисунке. Длина каждой нити $l$. Определите углы между
−нитями.
− </p>
−
− <div class="StatementDiv">
− <img class="Statement" src="statement.png">
− </div>
− </div>
− <hr>
− <h3>
− Решение:
− </h3>
+ <h3>Решение</h3>
+<center>
+ <figure>
+ <img src="6.1.11.png"
+ loading="lazy" width="230" />
+ <figcaption>
+ Угол $\varphi$ между нитями
+ </figcaption>
+ </figure>
+</center>
+<p>
+Обозначим углы при $Q$ за $\varphi$, тогда угол при $q$: $\pi -\varphi$).</p><p>
+Распишем проекции сил, действующих на $Q$, на ось, параллельную отрезку $QQ$:
+$$F_{QQ}+2F_{Qq} \cdot \cos{\varphi/2}-2T \cdot \cos{\varphi/2}=0$$
+ <div class="scroll-wrapper">
+$$F=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\ell^2}\left(\frac{Q}{(4\cos^2{\varphi/2}}+2q \cos{\varphi/2}\right) -2T \cos{\varphi/2}$$
+ </div>
+ Выражаем силу натяжения нити
+$$T=\frac{1}{\ell^2}\left(\frac{Q^2}{(2\cos{\varphi/2})^3}+qQ\right)$$
+Аналогично с $q$ и осью $qq$:
+$$F_{qq}+2F_{Qq} \cdot \cos{\frac{\pi -\varphi}{2}}-2T \cdot \cos{\frac{\pi -\varphi}{2}}=0$$
+ <div class="faq-drawer">
+ <input class="faq-drawer__trigger" id="faq-drawer-4" type="checkbox" /><label class="faq-drawer__title" for="faq-drawer-4">Математические преобразования</label>
+ <div class="faq-drawer__content-wrapper">
+ <div class="faq-drawer__content">
+ <p>
+ <div class="scroll-wrapper">
+ $$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{q^2}{(2\ell\sin{\varphi/2})^2}+2\frac{qQ}{\ell^2} \cdot \sin{\varphi/2}-\\-2\frac{1}{\ell^2}\left(\frac{Q^2}{(2\cos{\varphi/2})^3}+qQ\right) \cdot \sin{\varphi/2}\right]=0$$
− <div class="solutions">
− <p class="TxtSolutions">
− Обозначим углы при Q за $\varphi$ (Угол при q - $\pi -\varphi$).Распишем проекции сил, действующих на Q, на ось, параллельную отрезку QQ:<br> <br>
−$F_{QQ}+2F_{Qq} \cdot \cos{\varphi/2}-2T \cdot \cos{\varphi/2}=0$<br>
−$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q^2}{(2l\cos{\varphi/2})^2}+2\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{l^2} \cdot \cos{\varphi/2}$$-2T \cdot \cos{\varphi/2}=0$<br>
−$T=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{l^2}(\frac{Q^2}{(2\cos{\varphi/2})^3}+qQ)$<br><br>
−Аналогично с q и осью qq:<br>
−$F_{qq}+2F_{Qq} \cdot \cos{\frac{\pi -\varphi}{2}}-2T \cdot \cos{\frac{\pi -\varphi}{2}}=0$<br>
−$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{(2l\sin{\varphi/2})^2}+2\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{l^2} \cdot \sin{\varphi/2}$$-2\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{l^2}(\frac{Q^2}{(2\cos{\varphi/2})^3}+qQ) \cdot \sin{\varphi/2}=0$<br>
−$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{l^2}(\frac{q^2}{(2\sin{\varphi/2})^3}-\frac{Q^2}{(2\cos{\varphi/2})^3}+qQ-qQ)=0$<br>
−$\frac{q^2}{(\sin{\varphi/2})^3}-\frac{Q^2}{(\cos{\varphi/2})^3}=0$<br>
−$(\tan{\varphi/2})^3=\frac{q^2}{Q^2}$<br>
−$\varphi=2 \cdot \arctan {(\frac{q}{Q})^{2/3}}$
−<br> <br>
− </p>
− </div>
−
− <h3>
− Ответ: $2 \cdot \arctan {(\frac{q}{Q})^{2/3}}$, $\pi -2 \cdot \arctan {(\frac{q}{Q})^{2/3}}$
−
− </h3>
− </div>
−
+ $$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{\ell^2}\left(\frac{q^2}{(2\sin{\varphi/2})^3}-\frac{Q^2}{(2\cos{\varphi/2})^3}\right)=0$$
+ </div>
+ </p>
+ </div>
+ </div>
</div>
+ Откуда получаем тригонометрическое соотношение для системы зарядов
+ $$\frac{q^2}{(\sin{\varphi/2})^3}-\frac{Q^2}{(\cos{\varphi/2})^3}=0$$
+ Разделив одну часть на другую, находим искомый угол
+$$\tan^3{\varphi/2}=\frac{q^2}{Q^2} \Rightarrow \boxed{\varphi=2 \cdot \arctan {\left(\frac{q}{Q}\right)^{2/3}}}$$
+ </p>
−
−
−
− </div>
− <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
+ <h4>Ответ</h4>
+ <p>
+ $$\varphi=2 \cdot \arctan {\left(\frac{q}{Q}\right)^{2/3}}$$
+$$\pi-\varphi=\pi -2 \cdot \arctan {\left(\frac{q}{Q}\right)^{2/3}}$$
+ </p>
+ <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 14;">
Artem Levko<br>
</p>
− <footer class="row container">
+
+ <footer class="row container">
<br>
<p>
<small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
</p>
<p>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
</p>
</footer>
+ </body>
− <script type="text/javascript" src="../../js/bootstrap-affix.js"></script>
− <script type="text/javascript">
− $(function(){
− setTimeout(function () {
− $('.back-to-top').affix();
− }, 100);
−
− });
− </script>
−
−
− </body>
</html>