Edit to “Решение”
ru/6.1.11.md
+1 −1
| ### Условие | |||
| $6.1.11.$ Четыре положительных заряда $Q, q, Q, q$ связаны четырьмя нитямитак, как показано на рисунке. Длина каждой нити $\ell$. Определите углы между нитями. | |||
|  | |||
| ### Решение | |||
| @@ -8,7 +8,7 @@Решение | |||
|  Угол $\varphi$ между нитями | |||
| − | Обозначим углы при $Q$ за $\varphi$, тогда угол при $q$: $\pi -\varphi$ | ||
| + | Обозначим углы при $Q$ за $\varphi$, тогда угол при $q$: $\pi -\varphi$. | ||
| Распишем проекции сил, действующих на $Q$, на ось, параллельную отрезку $QQ$: $$F_{QQ}+2F_{Qq} \cdot \cos{\varphi/2}-2T \cdot \cos{\varphi/2}=0$$ | |||
| $$F=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\ell^2}\left(\frac{Q}{(4\cos^2{\varphi/2}}+2q \cos{\varphi/2}\right) -2T \cos{\varphi/2}$$ | |||
| Выражаем силу натяжения нити $$T=\frac{1}{\ell^2}\left(\frac{Q^2}{(2\cos{\varphi/2})^3}+qQ\right)$$ Аналогично с $q$ и осью $qq$: $$F_{qq}+2F_{Qq} \cdot \cos{\frac{\pi -\varphi}{2}}-2T \cdot \cos{\frac{\pi -\varphi}{2}}=0$$ | |||
| Математические преобразования | |||
| $$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{q^2}{(2\ell\sin{\varphi/2})^2}+2\frac{qQ}{\ell^2} \cdot \sin{\varphi/2}-\\\\-2\frac{1}{\ell^2}\left(\frac{Q^2}{(2\cos{\varphi/2})^3}+qQ\right) \cdot \sin{\varphi/2}\right]=0$$ $$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{\ell^2}\left(\frac{q^2}{(2\sin{\varphi/2})^3}-\frac{Q^2}{(2\cos{\varphi/2})^3}\right)=0$$ | |||
| Откуда получаем тригонометрическое соотношение для системы зарядов $$\frac{q^2}{(\sin{\varphi/2})^3}-\frac{Q^2}{(\cos{\varphi/2})^3}=0$$ Разделив одну часть на другую, находим искомый угол $$\tan^3{\varphi/2}=\frac{q^2}{Q^2} \Rightarrow \boxed{\varphi=2 \cdot \arctan {\left(\frac{q}{Q}\right)^{2/3}}}$$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$\varphi=2 \cdot \arctan {\left(\frac{q}{Q}\right)^{2/3}}$$ $$\pi-\varphi=\pi -2 \cdot \arctan {\left(\frac{q}{Q}\right)^{2/3}}$$ | |||
| unchanged lines 13 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $6.1.11.$ Четыре положительных заряда $Q, q, Q, q$ связаны четырьмя нитямитак, как показано на рисунке. Длина каждой нити $\ell$. Определите углы между нитями. | $6.1.11.$ Четыре положительных заряда $Q, q, Q, q$ связаны четырьмя нитямитак, как показано на рисунке. Длина каждой нити $\ell$. Определите углы между нитями. | ||
|  |  | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| @@ -8,7 +8,7 @@Решение | |||
|  Угол $\varphi$ между нитями |  Угол $\varphi$ между нитями | ||
| Обозначим углы при $Q$ за $\varphi$, тогда угол при $q$: $\pi -\varphi$ |
Обозначим углы при $Q$ за $\varphi$, тогда угол при $q$: $\pi -\varphi$. | ||
| Распишем проекции сил, действующих на $Q$, на ось, параллельную отрезку $QQ$: $$F_{QQ}+2F_{Qq} \cdot \cos{\varphi/2}-2T \cdot \cos{\varphi/2}=0$$ | Распишем проекции сил, действующих на $Q$, на ось, параллельную отрезку $QQ$: $$F_{QQ}+2F_{Qq} \cdot \cos{\varphi/2}-2T \cdot \cos{\varphi/2}=0$$ | ||
| $$F=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\ell^2}\left(\frac{Q}{(4\cos^2{\varphi/2}}+2q \cos{\varphi/2}\right) -2T \cos{\varphi/2}$$ | $$F=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\ell^2}\left(\frac{Q}{(4\cos^2{\varphi/2}}+2q \cos{\varphi/2}\right) -2T \cos{\varphi/2}$$ | ||
| Выражаем силу натяжения нити $$T=\frac{1}{\ell^2}\left(\frac{Q^2}{(2\cos{\varphi/2})^3}+qQ\right)$$ Аналогично с $q$ и осью $qq$: $$F_{qq}+2F_{Qq} \cdot \cos{\frac{\pi -\varphi}{2}}-2T \cdot \cos{\frac{\pi -\varphi}{2}}=0$$ | Выражаем силу натяжения нити $$T=\frac{1}{\ell^2}\left(\frac{Q^2}{(2\cos{\varphi/2})^3}+qQ\right)$$ Аналогично с $q$ и осью $qq$: $$F_{qq}+2F_{Qq} \cdot \cos{\frac{\pi -\varphi}{2}}-2T \cdot \cos{\frac{\pi -\varphi}{2}}=0$$ | ||
| Математические преобразования | Математические преобразования | ||
| $$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{q^2}{(2\ell\sin{\varphi/2})^2}+2\frac{qQ}{\ell^2} \cdot \sin{\varphi/2}-\\\\-2\frac{1}{\ell^2}\left(\frac{Q^2}{(2\cos{\varphi/2})^3}+qQ\right) \cdot \sin{\varphi/2}\right]=0$$ $$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{\ell^2}\left(\frac{q^2}{(2\sin{\varphi/2})^3}-\frac{Q^2}{(2\cos{\varphi/2})^3}\right)=0$$ | $$F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{q^2}{(2\ell\sin{\varphi/2})^2}+2\frac{qQ}{\ell^2} \cdot \sin{\varphi/2}-\\\\-2\frac{1}{\ell^2}\left(\frac{Q^2}{(2\cos{\varphi/2})^3}+qQ\right) \cdot \sin{\varphi/2}\right]=0$$ $$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{\ell^2}\left(\frac{q^2}{(2\sin{\varphi/2})^3}-\frac{Q^2}{(2\cos{\varphi/2})^3}\right)=0$$ | ||
| Откуда получаем тригонометрическое соотношение для системы зарядов $$\frac{q^2}{(\sin{\varphi/2})^3}-\frac{Q^2}{(\cos{\varphi/2})^3}=0$$ Разделив одну часть на другую, находим искомый угол $$\tan^3{\varphi/2}=\frac{q^2}{Q^2} \Rightarrow \boxed{\varphi=2 \cdot \arctan {\left(\frac{q}{Q}\right)^{2/3}}}$$ | Откуда получаем тригонометрическое соотношение для системы зарядов $$\frac{q^2}{(\sin{\varphi/2})^3}-\frac{Q^2}{(\cos{\varphi/2})^3}=0$$ Разделив одну часть на другую, находим искомый угол $$\tan^3{\varphi/2}=\frac{q^2}{Q^2} \Rightarrow \boxed{\varphi=2 \cdot \arctan {\left(\frac{q}{Q}\right)^{2/3}}}$$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$\varphi=2 \cdot \arctan {\left(\frac{q}{Q}\right)^{2/3}}$$ $$\pi-\varphi=\pi -2 \cdot \arctan {\left(\frac{q}{Q}\right)^{2/3}}$$ | $$\varphi=2 \cdot \arctan {\left(\frac{q}{Q}\right)^{2/3}}$$ $$\pi-\varphi=\pi -2 \cdot \arctan {\left(\frac{q}{Q}\right)^{2/3}}$$ | ||
| unchanged lines 13 | |||