Решение

За время $t_0$ скорость тела стала равной $v_0 = at_0$, а координата $x_0 = \frac{at_0^2}{2}$

Чтобы тело преодолело расстояние $x_1$, нужно время $t_1$:

$$-x_1 = v_0 t - \frac{at^2}{2}$$

Решаем квадратное уравнение:

$$t_1^2 - 2t_0 t_1-t_0^2=0$$

Выбираем положительный корень:

$$t_1 = (1+\sqrt{2})t_0$$

Время туда-обратно:

$$T = t_0+t_1=(2+\sqrt{2})t_0$$