11.1.9 | revision #11972 | Savchenko Solutions

Условие

11.1.9. Квадратный замкнутый виток проволоки, длина стороны которого $$b$$ , а сопротивление единицы длины $\rho$ , проходит с постоянной скоростью $$v$$ зазор электромагнита. Магнитное поле в зазоре однородное, его индукция равна $$B$$ . Считая поле вне этого зазора равным нулю, определите энергию, превратившуюся в тепло, для случаев, когда протяженность зазора $$a$$ в направлении движения витка меньше $$b$$ и больше $$b$$ , а в перпендикулярном направлении — больше $$b$$ .

Решение

Квадратный виток проволоки $b,$ движущийся со скоростью $\vec{v}$ через магнитное поле $ \vec{B} $ в зазоре шириной $a$. — Квадратный виток проволоки $$b,$$ движущийся со скоростью $\vec{v}$ через магнитное поле $\vec{B}$ в зазоре шириной $$a$$ .

Случай, когда $$a>b$$

Магнитный поток, проходящий через площадь пересечения $$S(t)$$ , зависяющую от времени $$t$$

$\Phi(t) = B \cdot S(t) = Bbvt$

Изменения магнитного потока за единицу времени

$\frac{d\Phi}{dt} = Bbv$

Возникающая ЭДС самоиндукции

$\varepsilon_i = \left |- \frac{d\Phi}{dt} \right | = Bbv$

Из закона Ома, возникающая сила тока составляет

$I_i = \frac{\varepsilon_i}{R} = \frac{Bbv}{R} = \frac{Bv}{4\rho}$

При этом энергия выделяющаяся на проводе длинной $$b$$

$Q_0 = I^2Rt = \frac{B^2vb^2}{4\rho}{,}\quad t=\frac{b}{v}$

Учитывая, что энергия выделяется, только провода, перпендикулярные к направлению вектора скорости $\vec{v}$ и будет выделяться на данных двух проводах

$Q_1 = 2Q_0 = \frac{B^2vb^2}{2\rho}$

Случай, когда $$a<b$$