Решение

1. Общие закономерности
Длина всего провода квадратного контура равна $4b$. Следовательно, полное сопротивление витка:
$$R = 4b\rho$$

При пересечении любой из сторон рамки границы магнитного поля (когда одна сторона внутри поля, а противоположная — снаружи) магнитный поток через рамку изменяется. В контуре возникает ЭДС индукции:
$$\varepsilon = \left| \frac{d\Phi}{dt} \right| = Bbv$$

По закону Ома возникающий индукционный ток течет по всему замкнутому контуру:
$$I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{Bbv}{4b\rho} = \frac{Bv}{4\rho}$$

Тепловая мощность, выделяющаяся во всей рамке во время изменения потока, равна:
$$P = I^2 R = \left(\frac{Bv}{4\rho}\right)^2 \cdot 4b\rho = \frac{B^2 v^2 b}{4\rho}$$

2. Случай $a > b$ (зазор шире рамки)
Магнитный поток меняется, а ток течет только на двух этапах движения:

1. Вход в поле: передняя сторона рамки заходит в зазор. Это длится до тех пор, пока рамка не зайдет в поле целиком. Время этого этапа $t_1 = \frac{b}{v}$.
2. Выход из поля: передняя сторона покидает зазор, а задняя еще находится внутри. Время этого этапа $t_2 = \frac{b}{v}$.

Во время движения рамки полностью внутри поля магнитный поток постоянен, тока нет, тепло не выделяется.
Общее время выделения тепла $t = t_1 + t_2 = \frac{2b}{v}$.
Суммарная выделившаяся энергия:
$$W_1 = P \cdot t = \frac{B^2 v^2 b}{4\rho} \cdot \frac{2b}{v} = \frac{B^2 v b^2}{2\rho}$$

3. Случай $a < b$ (зазор уже рамки)
Здесь этапы выделения тепла другие:

1. Проход передней стороны: передняя сторона рамки проходит через зазор от начала до конца. Время этапа $t_1 = \frac{a}{v}$.
2. Проход задней стороны: задняя сторона рамки проходит через зазор. Время этапа $t_2 = \frac{a}{v}$.

Когда зазор находится между передней и задней сторонами (обе вертикальные стороны вне поля), поток через рамку постоянен и равен $Bab$. Тока в этот момент нет.
Общее время выделения тепла $t = t_1 + t_2 = \frac{2a}{v}$.
Суммарная выделившаяся энергия:
$$W_2 = P \cdot t = \frac{B^2 v^2 b}{4\rho} \cdot \frac{2a}{v} = \frac{B^2 v a b}{2\rho}$$