| @@ -1,13 +1,50 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $2.3.21.$ Частица массы $m$ со скоростью $v$ влетает в область действия тормозящей силы $F$ под углом $\alpha$ к направлению этой силы. Под каким углом к направлению силы $F$ она вылетит из этой области? Ширина области действия силы $l$. При каком условии частица не сможет пересечь эту область? |
| $2.3.21.$ Частица массы $m$ со скоростью $v$ влетает в область действия тормозящей силы $F$ под углом $\alpha$ к направлению этой силы. Под каким углом к направлению силы $F$ она вылетит из этой области? Ширина области действия силы $l$. При каком условии частица не сможет пересечь эту область? |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
| Т.к. на плоскости $XY$ действует постоянная единственная внешняя сила $\vec{F}$, то компонента скорости по оси $OY$ будет оставаться неизменной: $v_0\cdot \sin\alpha =v_1\cdot \sin\beta\quad(a)$ Запишем Закон Сохранения Энергии: $\frac{mv^2_0}{2}=\frac{mv^2_1}{2}+FL$ $v^2_0=v^2_1+2\frac{FL}{m}$ Подставляем $(a)$: $v^2_0\cdot \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2 \,\beta}=v^2_0-2\frac{FL}{m}$ $\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2 \,\beta}=1-2\frac{FL}{mv^2_0}$ $\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}}}\quad(b)$ Рассмотрим область определения $(b)$. Т.к. $\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}} > 0$: $\frac{mv^2_0}{2} \geq FL$ Т.к. $\sin\beta\leq 1$: $\sin^2\alpha\leq 1-2\frac{FL}{mv^2_0}$ $2\frac{FL}{mv^2_0} \leq \cos^2\alpha$ $2\frac{FL}{mv^2_0} \leq \cos^2\alpha$ $ FL\leq \frac{mv^2_0}{2} \cos^2\alpha$ |
| На частицу действует единственная внешняя сила \( \vec{F} \), направленная вдоль оси \( x \). |
| |
| Таким образом, компонента скорости по оси \( y \) не изменяется во время движения частицы: |
| |
| |
| ### Ответ: $\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}}};$ при $ FL > \frac{mv^2_0}{2} \cos^2\alpha$ |
| $$v_0\cdot \sin\alpha =v_1\cdot \sin\beta\quad(1)$$ |
| |
| |
| |
| Работа силы \( F \) уменьшает кинетическую энергию частицы. Применяя закон сохранения энергии, получаем: |
| |
| |
| |
| $$\frac{mv^2_0}{2}=\frac{mv^2_1}{2}+FL\quad(2)$$ |
| |
| |
| |
| Упрощаем: |
| |
| |
| |
| $$v^2_0=v^2_1+2\frac{FL}{m}\quad(3)$$ |
| |
| |
| |
| Из (1) выразим \( \sin\beta \) и подставим в $(2)$: |
| |
| |
| |
| $$v^2_0\cdot \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2 \,\beta}=v^2_0-2\frac{FL}{m}\quad(4)$$ |
| |
| |
| |
| Разделим обе части уравнения на $v_0^2$ |
| |
| |
| |
| $$\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2 \,\beta}=1-2\frac{FL}{mv^2_0}\quad(5)$$ |
| |
| |
| |
| Выражаем cинус угла \( \beta \): |
| |
| |
| |
| $$\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}}}\quad(6)$$ |
| |
| |
| |
| #### Рассмотрим область определения синуса угла \( \beta \) из уравнения $(6)$. |
| |
| |
| |
| Учитываем, область значения функции $\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}} > 0$: |
| |
| |
| |
| $$\frac{mv^2_0}{2} \geq FL\quad(7)$$ |
| |
| |
| |
| Т.к. $\sin\beta\leq 1$: |
| |
| |
| |
| $$\sin^2\alpha\leq 1-2\frac{FL}{mv^2_0}\quad(8)$$ |
| |
| |
| |
| Учитывая основное тригонометрическое тождество, получаем: |
| |
| |
| |
| $$ FL\leq \frac{mv^2_0}{2} \cos^2\alpha\quad(9)$$ |
| |
| |
| |
| #### Ответ: $\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-2\frac{FL}{mv^2_0}}};$ при $ FL > \frac{mv^2_0}{2} \cos^2\alpha$ |
| |
| |
| ### |
| ### |
