$2.6.32^*.$ Наименьшая скорость тела на поверхности Земли, обеспечивающая его выход за пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью. Найдите ее, если известно, что скорость орбитального движения Земли $30 ~км/с$.
### Решение:
Для того, чтобы космический аппарат мог покинуть Солнечную систему, на расстоянии от Солнца в один радиус земной орбиты \( r \), он должен иметь скорость \( V \), равную скорости убегания \( v_0 \):
\[
V = \sqrt{\frac{2 \gamma M_{\odot}}{r}} = \sqrt{2} v_1,
\]
где \( M_{\odot}\) — масса Солнца, \( v_1 \) — круговая скорость на расстоянии \( r \), примерно равная скорости движения Земли (поскольку орбита нашей планеты, как и орбиты всех остальных планет Солнечной системы, почти не отличается от круга). Поэтому скорость аппарата относительно Земли должна составлять:
\[
v' = \sqrt{2} v - v.
\]
Скорость запуска, т.е. III космическая скорость, должна быть такой, чтобы на большом удалении от Земли скорость аппарата составляла \( v' \), т.е. согласно закону сохранения энергии:
w = \left[ (\sqrt{2} - 1)^2 v^2 + v_0^2 \right]^{1/2},\tag{23}
+
w = \left[ (\sqrt{2} - 1)^2 v^2 + v_0^2 \right]^{1/2},\tag{1}
\]
что равно примерно \( 16{,}7 ~ \text{км/с}\).
Обратим внимание: мы применяли закон сохранения энергии дважды, один раз — к преодолению мощного гравитационного поля Солнца, другой раз — к преодолению гравитационного поля Земли. У некоторых читателей этой книги может возникнуть недоумение: применять этот закон дважды, учитывая как гравитацию Земли, так и Солнца. На деле это не противоречит закону сохранения энергии, так как вклад от гравитации Солнца и Земли на конкретном участке пути учитывается отдельно.
\[
−
\frac{m(v + w)^2}{2} - \frac{\gamma m M_{\oplus}}{R_{\oplus}} - \frac{\gamma m M_0}{r} = 0. \tag{24}
+
\frac{m(v + w)^2}{2} - \frac{\gamma m M_{\oplus}}{R_{\oplus}} - \frac{\gamma m M_0}{r} = 0. \tag{2}
\]
−
Но решив это уравнение мы не получим выражение $(23)$. Какой же ответ неправильен?
+
Но решив это уравнение мы не получим выражение $(1)$. Какой же ответ неправильен?
−
Неверен второй ответ, и вот почему. При старте ракеты скорость Земли не может оставаться неизменной (возникает явление отдачи), поэтому в формулу $(24)$ нужно добавить слагаемое, соответствующее изменению кинетической энергии планеты. На первый взгляд, оно пренебрежимо мало, поскольку масса Земли много больше массы ракеты. Подсчитаем, однако, изменение кинетической энергии Земли:
+
Неверен второй ответ, и вот почему. При старте ракеты скорость Земли не может оставаться неизменной (возникает явление отдачи), поэтому в формулу $(2)$ нужно добавить слагаемое, соответствующее изменению кинетической энергии планеты. На первый взгляд, оно пренебрежимо мало, поскольку масса Земли много больше массы ракеты. Подсчитаем, однако, изменение кинетической энергии Земли:
где \( u \) — скорость Земли после старта ракеты. Найдем \( u \) из закона сохранения импульса. Начальный импульс системы «Земля+ракета» в системе отсчета Солнца складывается из слагаемых \( M_{\oplus} v \) — импульс Земли и \( m(v + w) \) — импульс ракеты в момент старта. Эти импульсы направлены в противоположные стороны. Ракета совершает движение Земли обратно к преодолению нового олицетворяющего минимального расстояния от Солнца. Значение \( m V \) определяет, как земной аппарат гравитационно привязан к Солнцу. Импульс есть сумма \( m V \) (выполненного конечного аппарата) и \( M_{\oplus}\) конечного импульса Земли. По закону сохранения импульса:
\[
M_{\oplus} v + m(v + w) = M_{\oplus} u + mV.
\]
Отсюда находим изменение скорости Земли
\[
u - v = \frac{m}{M_{\oplus}} (v + w - V).
\]
Найдём теперь изменение кинетической энергии Земли:
(в последнем выражении при пренебрежении отличием суммы \( u + v \) от \( 2v \)).
Как видно, это изменение имеет тот же порядок величины, что и кинетическая энергия космического аппарата. А если мы не пренебрегаем последней, мы не имеем права пренебрегать величиной \(\Delta E_{\oplus}\). С учётом этого слагаемого уравнение сохранения энергии выглядит так:
\[
@@ -68,8 +68,8 @@Решение:
\frac{m(v + w)^2}{2} - \frac{\gamma m M_{\oplus}}{R_{\oplus}} - \frac{\gamma m M_{\odot}}{r} = \Delta E_{\oplus}.
\]
−
После промежуточных выкладок мы получим тот же ответ $(23)$, что и раньше.
+
После промежуточных выкладок мы получим тот же ответ $(1)$, что и раньше.
В ходе решения этой поучительной задачи мы не только нашли значение третьей космической скорости, но и выяснили, как важно правильно учитывать величины, на первый взгляд кажущиеся пренебрежимо малыми.
#### Ответ: $v \approx 16.7 ~км/с$
### Условие:
### Условие:
$2.6.32^*.$ Наименьшая скорость тела на поверхности Земли, обеспечивающая его выход за пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью. Найдите ее, если известно, что скорость орбитального движения Земли $30 ~км/с$.
$2.6.32^*.$ Наименьшая скорость тела на поверхности Земли, обеспечивающая его выход за пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью. Найдите ее, если известно, что скорость орбитального движения Земли $30 ~км/с$.
### Решение:
### Решение:
Для того, чтобы космический аппарат мог покинуть Солнечную систему, на расстоянии от Солнца в один радиус земной орбиты \( r \), он должен иметь скорость \( V \), равную скорости убегания \( v_0 \):
Для того, чтобы космический аппарат мог покинуть Солнечную систему, на расстоянии от Солнца в один радиус земной орбиты \( r \), он должен иметь скорость \( V \), равную скорости убегания \( v_0 \):
\[
\[
V = \sqrt{\frac{2 \gamma M_{\odot}}{r}} = \sqrt{2} v_1,
V = \sqrt{\frac{2 \gamma M_{\odot}}{r}} = \sqrt{2} v_1,
\]
\]
где \( M_{\odot}\) — масса Солнца, \( v_1 \) — круговая скорость на расстоянии \( r \), примерно равная скорости движения Земли (поскольку орбита нашей планеты, как и орбиты всех остальных планет Солнечной системы, почти не отличается от круга). Поэтому скорость аппарата относительно Земли должна составлять:
где \( M_{\odot}\) — масса Солнца, \( v_1 \) — круговая скорость на расстоянии \( r \), примерно равная скорости движения Земли (поскольку орбита нашей планеты, как и орбиты всех остальных планет Солнечной системы, почти не отличается от круга). Поэтому скорость аппарата относительно Земли должна составлять:
\[
\[
v' = \sqrt{2} v - v.
v' = \sqrt{2} v - v.
\]
\]
Скорость запуска, т.е. III космическая скорость, должна быть такой, чтобы на большом удалении от Земли скорость аппарата составляла \( v' \), т.е. согласно закону сохранения энергии:
Скорость запуска, т.е. III космическая скорость, должна быть такой, чтобы на большом удалении от Земли скорость аппарата составляла \( v' \), т.е. согласно закону сохранения энергии:
w = \left[ (\sqrt{2} - 1)^2 v^2 + v_0^2 \right]^{1/2},\tag{23}
w = \left[ (\sqrt{2} - 1)^2 v^2 + v_0^2 \right]^{1/2},\tag{1}
\]
\]
что равно примерно \( 16{,}7 ~ \text{км/с}\).
что равно примерно \( 16{,}7 ~ \text{км/с}\).
Обратим внимание: мы применяли закон сохранения энергии дважды, один раз — к преодолению мощного гравитационного поля Солнца, другой раз — к преодолению гравитационного поля Земли. У некоторых читателей этой книги может возникнуть недоумение: применять этот закон дважды, учитывая как гравитацию Земли, так и Солнца. На деле это не противоречит закону сохранения энергии, так как вклад от гравитации Солнца и Земли на конкретном участке пути учитывается отдельно.
Обратим внимание: мы применяли закон сохранения энергии дважды, один раз — к преодолению мощного гравитационного поля Солнца, другой раз — к преодолению гравитационного поля Земли. У некоторых читателей этой книги может возникнуть недоумение: применять этот закон дважды, учитывая как гравитацию Земли, так и Солнца. На деле это не противоречит закону сохранения энергии, так как вклад от гравитации Солнца и Земли на конкретном участке пути учитывается отдельно.
\[
\[
\frac{m(v + w)^2}{2} - \frac{\gamma m M_{\oplus}}{R_{\oplus}} - \frac{\gamma m M_0}{r} = 0. \tag{24}
\frac{m(v + w)^2}{2} - \frac{\gamma m M_{\oplus}}{R_{\oplus}} - \frac{\gamma m M_0}{r} = 0. \tag{2}
\]
\]
Но решив это уравнение мы не получим выражение $(23)$. Какой же ответ неправильен?
Но решив это уравнение мы не получим выражение $(1)$. Какой же ответ неправильен?
Неверен второй ответ, и вот почему. При старте ракеты скорость Земли не может оставаться неизменной (возникает явление отдачи), поэтому в формулу $(24)$ нужно добавить слагаемое, соответствующее изменению кинетической энергии планеты. На первый взгляд, оно пренебрежимо мало, поскольку масса Земли много больше массы ракеты. Подсчитаем, однако, изменение кинетической энергии Земли:
Неверен второй ответ, и вот почему. При старте ракеты скорость Земли не может оставаться неизменной (возникает явление отдачи), поэтому в формулу $(2)$ нужно добавить слагаемое, соответствующее изменению кинетической энергии планеты. На первый взгляд, оно пренебрежимо мало, поскольку масса Земли много больше массы ракеты. Подсчитаем, однако, изменение кинетической энергии Земли:
где \( u \) — скорость Земли после старта ракеты. Найдем \( u \) из закона сохранения импульса. Начальный импульс системы «Земля+ракета» в системе отсчета Солнца складывается из слагаемых \( M_{\oplus} v \) — импульс Земли и \( m(v + w) \) — импульс ракеты в момент старта. Эти импульсы направлены в противоположные стороны. Ракета совершает движение Земли обратно к преодолению нового олицетворяющего минимального расстояния от Солнца. Значение \( m V \) определяет, как земной аппарат гравитационно привязан к Солнцу. Импульс есть сумма \( m V \) (выполненного конечного аппарата) и \( M_{\oplus}\) конечного импульса Земли. По закону сохранения импульса:
где \( u \) — скорость Земли после старта ракеты. Найдем \( u \) из закона сохранения импульса. Начальный импульс системы «Земля+ракета» в системе отсчета Солнца складывается из слагаемых \( M_{\oplus} v \) — импульс Земли и \( m(v + w) \) — импульс ракеты в момент старта. Эти импульсы направлены в противоположные стороны. Ракета совершает движение Земли обратно к преодолению нового олицетворяющего минимального расстояния от Солнца. Значение \( m V \) определяет, как земной аппарат гравитационно привязан к Солнцу. Импульс есть сумма \( m V \) (выполненного конечного аппарата) и \( M_{\oplus}\) конечного импульса Земли. По закону сохранения импульса:
\[
\[
M_{\oplus} v + m(v + w) = M_{\oplus} u + mV.
M_{\oplus} v + m(v + w) = M_{\oplus} u + mV.
\]
\]
Отсюда находим изменение скорости Земли
Отсюда находим изменение скорости Земли
\[
\[
u - v = \frac{m}{M_{\oplus}} (v + w - V).
u - v = \frac{m}{M_{\oplus}} (v + w - V).
\]
\]
Найдём теперь изменение кинетической энергии Земли:
Найдём теперь изменение кинетической энергии Земли:
(в последнем выражении при пренебрежении отличием суммы \( u + v \) от \( 2v \)).
(в последнем выражении при пренебрежении отличием суммы \( u + v \) от \( 2v \)).
Как видно, это изменение имеет тот же порядок величины, что и кинетическая энергия космического аппарата. А если мы не пренебрегаем последней, мы не имеем права пренебрегать величиной \(\Delta E_{\oplus}\). С учётом этого слагаемого уравнение сохранения энергии выглядит так:
Как видно, это изменение имеет тот же порядок величины, что и кинетическая энергия космического аппарата. А если мы не пренебрегаем последней, мы не имеем права пренебрегать величиной \(\Delta E_{\oplus}\). С учётом этого слагаемого уравнение сохранения энергии выглядит так:
\[
\[
@@ -68,8 +68,8 @@Решение:
\frac{m(v + w)^2}{2} - \frac{\gamma m M_{\oplus}}{R_{\oplus}} - \frac{\gamma m M_{\odot}}{r} = \Delta E_{\oplus}.
\frac{m(v + w)^2}{2} - \frac{\gamma m M_{\oplus}}{R_{\oplus}} - \frac{\gamma m M_{\odot}}{r} = \Delta E_{\oplus}.
\]
\]
После промежуточных выкладок мы получим тот же ответ $(23)$, что и раньше.
После промежуточных выкладок мы получим тот же ответ $(1)$, что и раньше.
В ходе решения этой поучительной задачи мы не только нашли значение третьей космической скорости, но и выяснили, как важно правильно учитывать величины, на первый взгляд кажущиеся пренебрежимо малыми.
В ходе решения этой поучительной задачи мы не только нашли значение третьей космической скорости, но и выяснили, как важно правильно учитывать величины, на первый взгляд кажущиеся пренебрежимо малыми.
