Edits to “Решение”, “Ответ”

astrosander edited
View solution History
revision #12125 parent #10929 ← older newer →
ru/2.6.50.md +72 −1
@@ -8,4 +8,75 @@Решение:
![|624x534, 67%](../../img/2.6.50/sol1.jpg)
−### Ответ: $\Delta v \approx 70 \,м/с$
+
+По приведённому авторами ответу $(\approx 75 \mathrm{~м/с})$ нельзя догадаться об идее решения. Задача же стоит того, чтобы её решить. Само собой разумеется, что в описанной фантастической ситуации атмосфера на Земле отсутствует. А вот термины «оценить» необходимо уточнить. Ведь речь идёт не об оценке порядка физической величины, а об обычном её вычислении, привычном при решении задач.
+
+Физическая интуиция подсказывает: огромное время полёта обеих булав свидетельствует о близости их начальных скоростей ко второй космической \( v_2 = \sqrt{2gR} ≈ 11.2 \) км/с. Значит, разность начальных скоростей булав весьма мала по сравнению с \( \sqrt{2gR} \).
+
+Наибольшую высоту подъема тела \( H \), брошенного вертикально вверх с начальной скоростью \( v_0 \), найдём из закона сохранения энергии:
+
+\[
+\frac{m v_0^2}{2} - \frac{G m M}{R} = -\frac{G m M}{R + H}
+\]
+
+Учитывая, что \( GM = gR^2 \), находим:
+
+\[
+H = \frac{v_0^2 R}{2gR - v_0^2}
+\]
+
+Здесь \( M \) — масса Земли, \( R \) — её радиус.
+
+Так как величина \( v_0 \) лишь немного меньше, чем \( \sqrt{2gR} \), то из вычисленной формулы следует, что \( H \gg R \). Последнее неизвестное мы найдем далее.
+
+Чтобы избежать применения высшей математики, рассмотрим падение булавы с огромной высоты по сравнению с радиусом Земли. Ведь оно не прямой, а по чрезвычайно вытянутому эллипсу с Землей в одном из его фокусов. Здесь нам поможет третий закон Кеплера:
+
+\[
+\frac{T^2}{(2\pi \sqrt{R / g})^2} = \frac{(H / 2)^3}{R^3}
+\]
+
+где \( 2\pi \sqrt{R / g} \) — период обращения низколетящего над поверхностью Земли спутника, \( T \) — время движения булавы. Следовательно:
+
+\[
+T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}\cdot \left(\frac{H}{2R}\right)^{3}}
+\]
+
+Объединяя выше приведённые формулы, получаем:
+
+\[
+T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g} \cdot \left(\frac{v_0^2}{4gR - 2v_0^2}\right)^3}
+\]
+
+откуда
+
+$$
+v_0=\frac{\sqrt{2gR}}{\sqrt{1+\sqrt[3]{\frac{\pi^2R}{2gT^2}}}}.\tag{1}
+$$
+
+Вычисления по формуле (1) очевидны, но всё же интересно получить более простую структурную (буквенную) формулу для искомой разности начальных скоростей булав \(v_{02} - v_{01}\). Эта формула будет приближённой, однако достаточно точной из-за малости величины:
+
+\[
+\alpha = \sqrt[3]{\frac{\pi^2 R}{2gT^2}}
+\]
+
+С учётом соотношения \((1 + \alpha)^x \approx 1 + \alpha x\), при \(x = -1/2\), имеем:
+
+\[
+v_0 = \sqrt{2gR} \cdot \left(1 - \frac{1}{2} \sqrt[3]{\frac{\pi^2 R}{2gT^2}} \right).
+\]
+
+Следовательно:
+
+\[
+v_{02} - v_{01} = \sqrt{2gR} \cdot \sqrt[3]{\frac{\pi^2 R}{16g}} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt[3]{T_1^2}} - \frac{1}{\sqrt[3]{T_2^2}}\right).
+\]
+
+Подстановка числовых значений даёт:
+
+\[
+v_{02} - v_{01} \approx 71{,}6 ~ \text{м/с}.
+\]
+
+
+
+#### Ответ: $\Delta v \approx 70 ~м/с$