$2.6.50^*.$ Два богатыря на полюсе Земли бросают вертикально вверх булавы. Первая упала через неделю, вторая — через $30$ дней. Оцените, на сколько различались их начальные скорости.
@@ -4,11 +4,6 @@Условие:
### Решение:
−
−
−
−
−
По приведённому авторами ответу $(\approx 75 \mathrm{~м/с})$ нельзя догадаться об идее решения. Задача же стоит того, чтобы её решить. Само собой разумеется, что в описанной фантастической ситуации атмосфера на Земле отсутствует. А вот термины «оценить» необходимо уточнить. Ведь речь идёт не об оценке порядка физической величины, а об обычном её вычислении, привычном при решении задач.
Физическая интуиция подсказывает: огромное время полёта обеих булав свидетельствует о близости их начальных скоростей ко второй космической \( v_2 = \sqrt{2gR} ≈ 11.2 \) км/с. Значит, разность начальных скоростей булав весьма мала по сравнению с \(\sqrt{2gR}\).
Наибольшую высоту подъема тела \( H \), брошенного вертикально вверх с начальной скоростью \( v_0 \), найдём из закона сохранения энергии:
\[
\frac{m v_0^2}{2} - \frac{G m M}{R} = -\frac{G m M}{R + H}
\]
Учитывая, что \( GM = gR^2 \), находим:
\[
H = \frac{v_0^2 R}{2gR - v_0^2}
\]
Здесь \( M \) — масса Земли, \( R \) — её радиус.
Так как величина \( v_0 \) лишь немного меньше, чем \(\sqrt{2gR}\), то из вычисленной формулы следует, что \( H \gg R \). Последнее неизвестное мы найдем далее.
Чтобы избежать применения высшей математики, рассмотрим падение булавы с огромной высоты по сравнению с радиусом Земли. Ведь оно не прямой, а по чрезвычайно вытянутому эллипсу с Землей в одном из его фокусов. Здесь нам поможет третий закон Кеплера:
Вычисления по формуле (1) очевидны, но всё же интересно получить более простую структурную (буквенную) формулу для искомой разности начальных скоростей булав \(v_{02} - v_{01}\). Эта формула будет приближённой, однако достаточно точной из-за малости величины:
\[
\alpha = \sqrt[3]{\frac{\pi^2 R}{2gT^2}}
\]
С учётом соотношения \((1 + \alpha)^x \approx 1 + \alpha x\), при \(x = -1/2\), имеем:
$2.6.50^*.$ Два богатыря на полюсе Земли бросают вертикально вверх булавы. Первая упала через неделю, вторая — через $30$ дней. Оцените, на сколько различались их начальные скорости.
$2.6.50^*.$ Два богатыря на полюсе Земли бросают вертикально вверх булавы. Первая упала через неделю, вторая — через $30$ дней. Оцените, на сколько различались их начальные скорости.
@@ -4,11 +4,6 @@Условие:
### Решение:
### Решение:
По приведённому авторами ответу $(\approx 75 \mathrm{~м/с})$ нельзя догадаться об идее решения. Задача же стоит того, чтобы её решить. Само собой разумеется, что в описанной фантастической ситуации атмосфера на Земле отсутствует. А вот термины «оценить» необходимо уточнить. Ведь речь идёт не об оценке порядка физической величины, а об обычном её вычислении, привычном при решении задач.
По приведённому авторами ответу $(\approx 75 \mathrm{~м/с})$ нельзя догадаться об идее решения. Задача же стоит того, чтобы её решить. Само собой разумеется, что в описанной фантастической ситуации атмосфера на Земле отсутствует. А вот термины «оценить» необходимо уточнить. Ведь речь идёт не об оценке порядка физической величины, а об обычном её вычислении, привычном при решении задач.
Физическая интуиция подсказывает: огромное время полёта обеих булав свидетельствует о близости их начальных скоростей ко второй космической \( v_2 = \sqrt{2gR} ≈ 11.2 \) км/с. Значит, разность начальных скоростей булав весьма мала по сравнению с \(\sqrt{2gR}\).
Физическая интуиция подсказывает: огромное время полёта обеих булав свидетельствует о близости их начальных скоростей ко второй космической \( v_2 = \sqrt{2gR} ≈ 11.2 \) км/с. Значит, разность начальных скоростей булав весьма мала по сравнению с \(\sqrt{2gR}\).
Наибольшую высоту подъема тела \( H \), брошенного вертикально вверх с начальной скоростью \( v_0 \), найдём из закона сохранения энергии:
Наибольшую высоту подъема тела \( H \), брошенного вертикально вверх с начальной скоростью \( v_0 \), найдём из закона сохранения энергии:
\[
\[
\frac{m v_0^2}{2} - \frac{G m M}{R} = -\frac{G m M}{R + H}
\frac{m v_0^2}{2} - \frac{G m M}{R} = -\frac{G m M}{R + H}
\]
\]
Учитывая, что \( GM = gR^2 \), находим:
Учитывая, что \( GM = gR^2 \), находим:
\[
\[
H = \frac{v_0^2 R}{2gR - v_0^2}
H = \frac{v_0^2 R}{2gR - v_0^2}
\]
\]
Здесь \( M \) — масса Земли, \( R \) — её радиус.
Здесь \( M \) — масса Земли, \( R \) — её радиус.
Так как величина \( v_0 \) лишь немного меньше, чем \(\sqrt{2gR}\), то из вычисленной формулы следует, что \( H \gg R \). Последнее неизвестное мы найдем далее.
Так как величина \( v_0 \) лишь немного меньше, чем \(\sqrt{2gR}\), то из вычисленной формулы следует, что \( H \gg R \). Последнее неизвестное мы найдем далее.
Чтобы избежать применения высшей математики, рассмотрим падение булавы с огромной высоты по сравнению с радиусом Земли. Ведь оно не прямой, а по чрезвычайно вытянутому эллипсу с Землей в одном из его фокусов. Здесь нам поможет третий закон Кеплера:
Чтобы избежать применения высшей математики, рассмотрим падение булавы с огромной высоты по сравнению с радиусом Земли. Ведь оно не прямой, а по чрезвычайно вытянутому эллипсу с Землей в одном из его фокусов. Здесь нам поможет третий закон Кеплера:
Вычисления по формуле (1) очевидны, но всё же интересно получить более простую структурную (буквенную) формулу для искомой разности начальных скоростей булав \(v_{02} - v_{01}\). Эта формула будет приближённой, однако достаточно точной из-за малости величины:
Вычисления по формуле (1) очевидны, но всё же интересно получить более простую структурную (буквенную) формулу для искомой разности начальных скоростей булав \(v_{02} - v_{01}\). Эта формула будет приближённой, однако достаточно точной из-за малости величины:
\[
\[
\alpha = \sqrt[3]{\frac{\pi^2 R}{2gT^2}}
\alpha = \sqrt[3]{\frac{\pi^2 R}{2gT^2}}
\]
\]
С учётом соотношения \((1 + \alpha)^x \approx 1 + \alpha x\), при \(x = -1/2\), имеем:
С учётом соотношения \((1 + \alpha)^x \approx 1 + \alpha x\), при \(x = -1/2\), имеем:
