Решение

При малых отклонениях угол $\varphi$ небольшой ($\sin\varphi \approx \varphi$). На метроном действуют два момента:

• Момент силы тяжести груза $M$: $Mgl\sin\varphi \approx Mgl\varphi$,
• Момент силы тяжести груза $m$: $mgx\sin\varphi \approx mgx\varphi$.

Результирующий момент:

$$I\varepsilon =\sum_{}^{}M\approx\varphi(mgx-Mgl)$$

По-теореме Штейнера, для стержня с двумя точечными грузами момент инерции относительно оси:

$$I=Ml^2+mx^2$$

Уравнение динамики вращательного движения:

$$(Ml^2+mx^2)\ddot{\varphi}+\varphi(Mgl-mgx)=0$$

Дифференциальное уравнение колебаний принимает вид:

$$\ddot{\varphi}+\frac{Mgl-mgx}{Ml^2+mx^2}\varphi=0$$

Частота колебаний $\omega$:

$$\omega =\sqrt{\frac{g(Ml-mx)}{Ml^2+mx^2}}$$