$6.1.19.$ Докажите, что составляющая напряженности электрического поля, перпендикулярная поверхности равномерно заряженного участка плоскости, равна $E_\perp = \frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}$, где $\Omega$ — телесный угол, под которым виден этот участок из рассматриваемой точки пространства, $\sigma$ — поверхностная плотность заряда. Определите, пользуясь этим, напряженность электрического поля:
а) в центре куба, пять граней которого равномерно заряжены с поверхностной плотностью заряда $\sigma$, а одна грань не заряжена;
б) в центре правильного тетраэдра, три грани которого заряжены с поверхностной плотностью $\sigma_1$, а четвертая — с поверхностной плотностью заряда $\sigma_2$;
в) равномерно заряженной плоскости, если поверхностная плотность заряда $\sigma$;
г) на оси длинной трубы с сечением в виде правильного треугольника, если поверхностная плотность заряда граней треугольника трубы равна соответственно $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$;
д) в вершине конуса с углом при вершине $\alpha$ и высоты $h$, равномерно заряженного с объемной плотностью заряда $\rho$;
е) на ребре длинного бруска, равномерно заряженного с объемной плотностью заряда $\rho$; поперечное сечение бруска — правильный треугольник со стороной $l$.
### Решение:
У куба 6 граней, каждая из граней ограничивает 1/6 часть пространства, т.е. они видны из центра под углом $4\pi /6=2\pi /3$срад.
Напряжённости противоположных граней полностью компенсируют друг друга (симметрия). Есть 2 пары противоположных граней и одна свободная - она-то и будет создавать напряжённость.
б) Грани тетраэдра ограничивают четверть пространства, их телесный угол - $\pi$срад. Три одинаково заряженные грани и последняя грань создадут векторы напряжённости, направленные вдоль высоты тетраэдра, и противоположные друг другу по направлению (прилежащие к высоте грани тетраэдра наклонены к ней под углом, синус которого равен 1/3):
+
б) Грани тетраэдра ограничивают четверть пространства, их телесный угол - $\pi$срад. Три одинаково заряженные грани и последняя грань создадут векторы напряжённости, направленные вдоль высоты тетраэдра, и противоположные друг другу по направлению (прилежащие к высоте грани тетраэдра наклонены к ней под углом, синус которого равен $1/3$):
г) Грани трубки ограничивают треть пространства, их телесный угол - $4\pi /3$срад. Три грани создадут три вектора, направленных под углом $120 ^{\circ}$ друг к другу, с модулем, который задаётся формулой
д) Будем разрезать конус на малые диски, перпендикулярные высоте, радиус диска - r, толщина - dx. Каждый из дисков виден из вершины под одним и тем же телесным углом
+
д) Будем разрезать конус на малые диски, перпендикулярные высоте, радиус диска - $r$, толщина - $dx$. Каждый из дисков виден из вершины под одним и тем же телесным углом
$$\Omega=2\pi (1-\cos{\alpha})$$
(известный факт, выводится интегрированием площади участка сферы по углу).
д*) \( E = \frac{\rho h (1 - \cos\alpha)}{2\varepsilon_0}\);
е*) \( E = \frac{\sqrt{3} l \rho}{12\varepsilon_0}\).
unchanged lines 37
### Условие:
### Условие:
$6.1.19.$ Докажите, что составляющая напряженности электрического поля, перпендикулярная поверхности равномерно заряженного участка плоскости, равна $E_\perp = \frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}$, где $\Omega$ — телесный угол, под которым виден этот участок из рассматриваемой точки пространства, $\sigma$ — поверхностная плотность заряда. Определите, пользуясь этим, напряженность электрического поля:
$6.1.19.$ Докажите, что составляющая напряженности электрического поля, перпендикулярная поверхности равномерно заряженного участка плоскости, равна $E_\perp = \frac{\sigma\Omega}{4\pi\varepsilon_0}$, где $\Omega$ — телесный угол, под которым виден этот участок из рассматриваемой точки пространства, $\sigma$ — поверхностная плотность заряда. Определите, пользуясь этим, напряженность электрического поля:
а) в центре куба, пять граней которого равномерно заряжены с поверхностной плотностью заряда $\sigma$, а одна грань не заряжена;
а) в центре куба, пять граней которого равномерно заряжены с поверхностной плотностью заряда $\sigma$, а одна грань не заряжена;
б) в центре правильного тетраэдра, три грани которого заряжены с поверхностной плотностью $\sigma_1$, а четвертая — с поверхностной плотностью заряда $\sigma_2$;
б) в центре правильного тетраэдра, три грани которого заряжены с поверхностной плотностью $\sigma_1$, а четвертая — с поверхностной плотностью заряда $\sigma_2$;
в) равномерно заряженной плоскости, если поверхностная плотность заряда $\sigma$;
в) равномерно заряженной плоскости, если поверхностная плотность заряда $\sigma$;
г) на оси длинной трубы с сечением в виде правильного треугольника, если поверхностная плотность заряда граней треугольника трубы равна соответственно $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$;
г) на оси длинной трубы с сечением в виде правильного треугольника, если поверхностная плотность заряда граней треугольника трубы равна соответственно $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$;
д) в вершине конуса с углом при вершине $\alpha$ и высоты $h$, равномерно заряженного с объемной плотностью заряда $\rho$;
д) в вершине конуса с углом при вершине $\alpha$ и высоты $h$, равномерно заряженного с объемной плотностью заряда $\rho$;
е) на ребре длинного бруска, равномерно заряженного с объемной плотностью заряда $\rho$; поперечное сечение бруска — правильный треугольник со стороной $l$.
е) на ребре длинного бруска, равномерно заряженного с объемной плотностью заряда $\rho$; поперечное сечение бруска — правильный треугольник со стороной $l$.
### Решение:
### Решение:
У куба 6 граней, каждая из граней ограничивает 1/6 часть пространства, т.е. они видны из центра под углом $4\pi /6=2\pi /3$срад.
У куба 6 граней, каждая из граней ограничивает 1/6 часть пространства, т.е. они видны из центра под углом $4\pi /6=2\pi /3$срад.
Напряжённости противоположных граней полностью компенсируют друг друга (симметрия). Есть 2 пары противоположных граней и одна свободная - она-то и будет создавать напряжённость.
Напряжённости противоположных граней полностью компенсируют друг друга (симметрия). Есть 2 пары противоположных граней и одна свободная - она-то и будет создавать напряжённость.
б) Грани тетраэдра ограничивают четверть пространства, их телесный угол - $\pi$срад. Три одинаково заряженные грани и последняя грань создадут векторы напряжённости, направленные вдоль высоты тетраэдра, и противоположные друг другу по направлению (прилежащие к высоте грани тетраэдра наклонены к ней под углом, синус которого равен 1/3):
б) Грани тетраэдра ограничивают четверть пространства, их телесный угол - $\pi$срад. Три одинаково заряженные грани и последняя грань создадут векторы напряжённости, направленные вдоль высоты тетраэдра, и противоположные друг другу по направлению (прилежащие к высоте грани тетраэдра наклонены к ней под углом, синус которого равен $1/3$):
г) Грани трубки ограничивают треть пространства, их телесный угол - $4\pi /3$срад. Три грани создадут три вектора, направленных под углом $120 ^{\circ}$ друг к другу, с модулем, который задаётся формулой
г) Грани трубки ограничивают треть пространства, их телесный угол - $4\pi /3$срад. Три грани создадут три вектора, направленных под углом $120 ^{\circ}$ друг к другу, с модулем, который задаётся формулой
д) Будем разрезать конус на малые диски, перпендикулярные высоте, радиус диска - r, толщина - dx. Каждый из дисков виден из вершины под одним и тем же телесным углом
д) Будем разрезать конус на малые диски, перпендикулярные высоте, радиус диска - $r$, толщина - $dx$. Каждый из дисков виден из вершины под одним и тем же телесным углом
$$\Omega=2\pi (1-\cos{\alpha})$$
$$\Omega=2\pi (1-\cos{\alpha})$$
(известный факт, выводится интегрированием площади участка сферы по углу).
(известный факт, выводится интегрированием площади участка сферы по углу).
