Edit to “Решение”
ru/11.1.22.md
+2 −2
| ### Условие: | |||
| $11.1.22^*.$ В магнитном поле с большой высоты падает кольцо радиуса $a$ и массы $m$. Сопротивление кольца $R$. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найдите установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой по закону $B = B_0(1+\alpha h)$. | |||
| @@ -4,13 +4,13 @@Условие: | |||
| ### Решение: | |||
| − |  | ||
| Кольцо будет лететь с потоянной скоростью, потому что сила Ампера $F_A$ будет компензировать силу тяжести $mg$ | |||
| Через теорему о магнитном потоке, найдем тангенциальную составляющую магнитной индукции $$B_\parallel = - \frac{dB_\perp}{dh} \frac{a}{2}= - \frac{a}{2} \frac{d}{dh}(B_0(1+\alpha h)) $$ Учитывая, что установившаяся скорость постоянна $$v=\text{const}$$ $$\frac{dh}{dt} = -v$$ Откуда находим значение для тангенциальной составляющей магнитной индукции $B_\parallel$ $$B_\parallel = \frac{\alpha aB_0}{2}$$ Из-за того, что поток проходящий через кольцо изменяется, в кольце индуцируется ток $$\varepsilon_{i} = -\frac{d\Phi}{dt}=-\pi a^2 \frac{dB_\perp}{dt}$$ $$\varepsilon_{i} = \pi a^2 B_0v\alpha$$ По закону Ома, индуцированный ток найдём как $$I = \frac{\varepsilon_{i}}{R} = \frac{\pi a^2 B_0v\alpha}{R}$$ Тогда силу Ампера найдем как $$F_A = 2\pi aIB_\parallel$$ $$F_A = 2\pi a \frac{\pi a^2 B_0v\alpha}{R} \frac{\alpha aB_0}{2}$$ $$ F_A = \frac{\pi^2 a^4 B_0 ^2v \alpha^2}{R} $$ Условие отсутствия ускорения $$ mg = F_A$$ $$ \frac{\pi^2 a^4 B_0 ^2v \alpha^2}{R} = mg$$ Откуда получаем установившуюся скорость $$ \boxed{v = \frac{mgR}{(B_0\pi a^2\alpha )^2}}$$ | |||
| − | |||
| + | __NO__: Более развернутую и красивую задачу с похожей идеей можно найти в ["Очень длинных физических задачах"](https://belphol.github.io/books/LongProblemsPart2.pdf) А.И.Слободянюка "Как гроб Магомета" (Задача 13) | ||
| #### Ответ: | |||
| $$ v = \frac{mgR}{(B_0\pi a^2\alpha )^2}$$ | |||
| ### Альтернативное решение: | |||
|  | |||
| unchanged lines 6 | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $11.1.22^*.$ В магнитном поле с большой высоты падает кольцо радиуса $a$ и массы $m$. Сопротивление кольца $R$. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найдите установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой по закону $B = B_0(1+\alpha h)$. | $11.1.22^*.$ В магнитном поле с большой высоты падает кольцо радиуса $a$ и массы $m$. Сопротивление кольца $R$. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найдите установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой по закону $B = B_0(1+\alpha h)$. | ||
| @@ -4,13 +4,13 @@Условие: | |||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
|  | ||
| Кольцо будет лететь с потоянной скоростью, потому что сила Ампера $F_A$ будет компензировать силу тяжести $mg$ | Кольцо будет лететь с потоянной скоростью, потому что сила Ампера $F_A$ будет компензировать силу тяжести $mg$ | ||
| Через теорему о магнитном потоке, найдем тангенциальную составляющую магнитной индукции $$B_\parallel = - \frac{dB_\perp}{dh} \frac{a}{2}= - \frac{a}{2} \frac{d}{dh}(B_0(1+\alpha h)) $$ Учитывая, что установившаяся скорость постоянна $$v=\text{const}$$ $$\frac{dh}{dt} = -v$$ Откуда находим значение для тангенциальной составляющей магнитной индукции $B_\parallel$ $$B_\parallel = \frac{\alpha aB_0}{2}$$ Из-за того, что поток проходящий через кольцо изменяется, в кольце индуцируется ток $$\varepsilon_{i} = -\frac{d\Phi}{dt}=-\pi a^2 \frac{dB_\perp}{dt}$$ $$\varepsilon_{i} = \pi a^2 B_0v\alpha$$ По закону Ома, индуцированный ток найдём как $$I = \frac{\varepsilon_{i}}{R} = \frac{\pi a^2 B_0v\alpha}{R}$$ Тогда силу Ампера найдем как $$F_A = 2\pi aIB_\parallel$$ $$F_A = 2\pi a \frac{\pi a^2 B_0v\alpha}{R} \frac{\alpha aB_0}{2}$$ $$ F_A = \frac{\pi^2 a^4 B_0 ^2v \alpha^2}{R} $$ Условие отсутствия ускорения $$ mg = F_A$$ $$ \frac{\pi^2 a^4 B_0 ^2v \alpha^2}{R} = mg$$ Откуда получаем установившуюся скорость $$ \boxed{v = \frac{mgR}{(B_0\pi a^2\alpha )^2}}$$ | Через теорему о магнитном потоке, найдем тангенциальную составляющую магнитной индукции $$B_\parallel = - \frac{dB_\perp}{dh} \frac{a}{2}= - \frac{a}{2} \frac{d}{dh}(B_0(1+\alpha h)) $$ Учитывая, что установившаяся скорость постоянна $$v=\text{const}$$ $$\frac{dh}{dt} = -v$$ Откуда находим значение для тангенциальной составляющей магнитной индукции $B_\parallel$ $$B_\parallel = \frac{\alpha aB_0}{2}$$ Из-за того, что поток проходящий через кольцо изменяется, в кольце индуцируется ток $$\varepsilon_{i} = -\frac{d\Phi}{dt}=-\pi a^2 \frac{dB_\perp}{dt}$$ $$\varepsilon_{i} = \pi a^2 B_0v\alpha$$ По закону Ома, индуцированный ток найдём как $$I = \frac{\varepsilon_{i}}{R} = \frac{\pi a^2 B_0v\alpha}{R}$$ Тогда силу Ампера найдем как $$F_A = 2\pi aIB_\parallel$$ $$F_A = 2\pi a \frac{\pi a^2 B_0v\alpha}{R} \frac{\alpha aB_0}{2}$$ $$ F_A = \frac{\pi^2 a^4 B_0 ^2v \alpha^2}{R} $$ Условие отсутствия ускорения $$ mg = F_A$$ $$ \frac{\pi^2 a^4 B_0 ^2v \alpha^2}{R} = mg$$ Откуда получаем установившуюся скорость $$ \boxed{v = \frac{mgR}{(B_0\pi a^2\alpha )^2}}$$ | ||
| __NO__: Более развернутую и красивую задачу с похожей идеей можно найти в ["Очень длинных физических задачах"](https://belphol.github.io/books/LongProblemsPart2.pdf) А.И.Слободянюка "Как гроб Магомета" (Задача 13) | |||
| #### Ответ: | #### Ответ: | ||
| $$ v = \frac{mgR}{(B_0\pi a^2\alpha )^2}$$ | $$ v = \frac{mgR}{(B_0\pi a^2\alpha )^2}$$ | ||
| ### Альтернативное решение: | ### Альтернативное решение: | ||
|  |  | ||
| unchanged lines 6 | |||