Edit to “Решение”
ru/9.2.14.md
+1 −1
| ### Условие | |||
| $9.2.14^*.$ Прямой провод имеет виток радиуса $R$. По проводу течет ток $I$. Определите индукцию магнитного поля в центре витка и на его оси на расстоянии $h$ от его центра. | |||
|  | |||
| ### Решение | |||
| Разобьём систему на отдельно провод и кольцо с током с соответствующими им полями $B_1 $ и $B_2$ | |||
| Из школьного курса известно, что поле бесконечного провода $$B_1 = \frac{\mu_0I}{2\pi l} = \frac{\mu_0 I}{2\sqrt{R^2 + h^2}}$$ Поле кольца мы находили в задаче [9.2.10](../9.2.10): $$B_2 = \frac{\mu_0 I R^2}{2 (R^2 + h^2)^{3/2}}$$ Стоит отметить что $\vec{B_1}$ и $\vec{B_2}$ имеют разное направление, вектор $\vec{B_1}$ перпендикулярен плоскости точки и провода, а вектор $\vec{B_2}$ направлен вдоль оси. Несложно показать, что косинус угла между этими векторами $$\cos\gamma = \frac{R}{\sqrt{R^2+h^2}}$$ тогда | |||
| @@ -12,7 +12,7 @@Решение | |||
| $$|\vec B| = |\vec B_1 + \vec B_2| = \sqrt{{B_1}^2+{B_2}^2+2B_1B_2\cos\gamma}$$ | |||
| − | $$\boxed{B=\frac{\mu_0I}{2}\left[\frac{1}{\pi^2(R^2+h^2)} + \frac{R^4}{(R^2+h^2)^3} + \frac{2R^3}{\pi (R^2+h^2)^{5/2}}\right]^{1/2}} | ||
| + | $$\boxed{B=\frac{\mu_0I}{2}\left[\frac{1}{\pi^2(R^2+h^2)} + \frac{R^4}{(R^2+h^2)^3} + \frac{2R^3}{\pi (R^2+h^2)^{5/2}}\right]^{1/2}}\tag{1}$$ | ||
| При $h = 0$ подставляем в выражение $(1)$ | |||
| $$B(0) = \frac{\mu_0I}{2R}\sqrt{\frac{1}{\pi^2} + 1 + \frac{2}{\pi}} \Rightarrow \boxed{B(0) = \frac{\mu_0I}{2\pi R}(1 + \pi)}$$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$B(h)=\frac{\mu_0I}{2}\sqrt{\frac{1}{\pi^2(R^2+h^2)} + \frac{R^4}{(R^2+h^2)^3} + \frac{2R^3}{\pi (R^2+h^2)^{5/2}}}$$ | |||
| $$B(0) = \frac{\mu_0I}{2\pi R}( \pi + 1)$$ | |||
| unchanged lines 7 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $9.2.14^*.$ Прямой провод имеет виток радиуса $R$. По проводу течет ток $I$. Определите индукцию магнитного поля в центре витка и на его оси на расстоянии $h$ от его центра. | $9.2.14^*.$ Прямой провод имеет виток радиуса $R$. По проводу течет ток $I$. Определите индукцию магнитного поля в центре витка и на его оси на расстоянии $h$ от его центра. | ||
|  |  | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Разобьём систему на отдельно провод и кольцо с током с соответствующими им полями $B_1 $ и $B_2$ | Разобьём систему на отдельно провод и кольцо с током с соответствующими им полями $B_1 $ и $B_2$ | ||
| Из школьного курса известно, что поле бесконечного провода $$B_1 = \frac{\mu_0I}{2\pi l} = \frac{\mu_0 I}{2\sqrt{R^2 + h^2}}$$ Поле кольца мы находили в задаче [9.2.10](../9.2.10): $$B_2 = \frac{\mu_0 I R^2}{2 (R^2 + h^2)^{3/2}}$$ Стоит отметить что $\vec{B_1}$ и $\vec{B_2}$ имеют разное направление, вектор $\vec{B_1}$ перпендикулярен плоскости точки и провода, а вектор $\vec{B_2}$ направлен вдоль оси. Несложно показать, что косинус угла между этими векторами $$\cos\gamma = \frac{R}{\sqrt{R^2+h^2}}$$ тогда | Из школьного курса известно, что поле бесконечного провода $$B_1 = \frac{\mu_0I}{2\pi l} = \frac{\mu_0 I}{2\sqrt{R^2 + h^2}}$$ Поле кольца мы находили в задаче [9.2.10](../9.2.10): $$B_2 = \frac{\mu_0 I R^2}{2 (R^2 + h^2)^{3/2}}$$ Стоит отметить что $\vec{B_1}$ и $\vec{B_2}$ имеют разное направление, вектор $\vec{B_1}$ перпендикулярен плоскости точки и провода, а вектор $\vec{B_2}$ направлен вдоль оси. Несложно показать, что косинус угла между этими векторами $$\cos\gamma = \frac{R}{\sqrt{R^2+h^2}}$$ тогда | ||
| @@ -12,7 +12,7 @@Решение | |||
| $$|\vec B| = |\vec B_1 + \vec B_2| = \sqrt{{B_1}^2+{B_2}^2+2B_1B_2\cos\gamma}$$ | $$|\vec B| = |\vec B_1 + \vec B_2| = \sqrt{{B_1}^2+{B_2}^2+2B_1B_2\cos\gamma}$$ | ||
| $$\boxed{B=\frac{\mu_0I}{2}\left[\frac{1}{\pi^2(R^2+h^2)} + \frac{R^4}{(R^2+h^2)^3} + \frac{2R^3}{\pi (R^2+h^2)^{5/2}}\right]^{1/2}} |
$$\boxed{B=\frac{\mu_0I}{2}\left[\frac{1}{\pi^2(R^2+h^2)} + \frac{R^4}{(R^2+h^2)^3} + \frac{2R^3}{\pi (R^2+h^2)^{5/2}}\right]^{1/2}}\tag{1}$$ | ||
| При $h = 0$ подставляем в выражение $(1)$ | При $h = 0$ подставляем в выражение $(1)$ | ||
| $$B(0) = \frac{\mu_0I}{2R}\sqrt{\frac{1}{\pi^2} + 1 + \frac{2}{\pi}} \Rightarrow \boxed{B(0) = \frac{\mu_0I}{2\pi R}(1 + \pi)}$$ | $$B(0) = \frac{\mu_0I}{2R}\sqrt{\frac{1}{\pi^2} + 1 + \frac{2}{\pi}} \Rightarrow \boxed{B(0) = \frac{\mu_0I}{2\pi R}(1 + \pi)}$$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$B(h)=\frac{\mu_0I}{2}\sqrt{\frac{1}{\pi^2(R^2+h^2)} + \frac{R^4}{(R^2+h^2)^3} + \frac{2R^3}{\pi (R^2+h^2)^{5/2}}}$$ | $$B(h)=\frac{\mu_0I}{2}\sqrt{\frac{1}{\pi^2(R^2+h^2)} + \frac{R^4}{(R^2+h^2)^3} + \frac{2R^3}{\pi (R^2+h^2)^{5/2}}}$$ | ||
| $$B(0) = \frac{\mu_0I}{2\pi R}( \pi + 1)$$ | $$B(0) = \frac{\mu_0I}{2\pi R}( \pi + 1)$$ | ||
| unchanged lines 7 | |||