| @@ -1,12 +1,29 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $6.1.15.$ Два заряда $q$, соединенных резиновыми шнурами с неподвижными стенками так, как показано на рисунке, находятся на расстоянии $2a$ друг от друга. Расстояние между стенками $2l$, длина каждого недеформированного шнура $l$. Определите их жесткость. |
| $6.1.15.$ Два заряда $q$, соединенных резиновыми шнурами с неподвижными стенками так, как показано на рисунке, находятся на расстоянии $2a$ друг от друга. Расстояние между стенками $2l$, длина каждого недеформированного шнура $l$. Определите их жесткость. |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
| $\varphi$ - угол между двумя шнурами, присоединёнными к одному заряду, $\tan{\varphi/2}=\frac{l}{a}$. Проекции сил, действующих на заряд, на ось qq: $F_k(2a)-2F_{\text{у}} \cdot \cos{\varphi/2}=0$ $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{4a^2}=2k\Delta{x} \cdot \cos{\varphi/2}$ $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{4a^2}=2k(\sqrt{a^2+l^2}-l) \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2+l^2}}$ $k=\frac{q^2\sqrt{a^2+l^2}}{32\pi\varepsilon_0a^3\sqrt{a^2+l^2}}$ |
| $\varphi$ — угол между двумя шнурами, присоединёнными к одному заряду: |
| |
| |
| ### |
| $$\tan{\varphi/2}=\frac{l}{a}.$$ |
| Ответ: $\frac{q^2\sqrt{a^2+l^2}}{32\pi\varepsilon_0a^3\sqrt{a^2+l^2}}$ |
| |
| |
| Проекции сил, действующих на заряд, на ось $qq$: |
| |
| |
| |
| $$F_k(2a)-2F_{\text{у}} \cdot \cos{\varphi/2}=0$$ |
| |
| |
| |
| Подставляем выражение для силы Кулона $(F_k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0r^2})$ и силы упругости из закона Гука $(F_у = k\Delta x)$: |
| |
| |
| |
| $$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{4a^2}=2k\Delta{x} \cdot \cos{\varphi/2}$$ |
| |
| |
| |
| Из геометрии задачи, по теореме Пифагора, находим растяжение шнура $\Delta x$ и косинус половинного угла между шнурами $\Delta \varphi /2$: |
| |
| |
| |
| $$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{4a^2}=2k\left(\sqrt{a^2+l^2}-l\right) \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2+l^2}}$$ |
| |
| |
| |
| Выражаем жесткость шнура: |
| |
| |
| |
| $$k=\frac{q^2\sqrt{a^2+l^2}}{32\pi\varepsilon_0a^3\sqrt{a^2+l^2}}$$ |
| |
| |
| |
| #### Ответ: $\frac{q^2\sqrt{a^2+l^2}}{32\pi\varepsilon_0a^3\sqrt{a^2+l^2}}$ |
