Решение

$\varphi$ — угол между двумя шнурами, присоединёнными к одному заряду:

$$\tan{\varphi/2}=\frac{l}{a}.$$

Проекции сил, действующих на заряд, на ось $qq$:

$$F_k(2a)-2F_{\text{у}} \cdot \cos{\varphi/2}=0$$

Подставляем выражение для силы Кулона $(F_k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0r^2})$ и силы упругости из закона Гука $(F_у = k\Delta x)$:

$$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{4a^2}=2k\Delta{x} \cdot \cos{\varphi/2}$$

Из геометрии задачи, по теореме Пифагора, находим растяжение шнура $\Delta x$ и косинус половинного угла между шнурами $\Delta \varphi /2$:

$$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{4a^2}=2k\left(\sqrt{a^2+l^2}-l\right) \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2+l^2}}$$

Выражаем жесткость шнура:

$$k=\frac{q^2\sqrt{a^2+l^2}}{32\pi\varepsilon_0a^3\sqrt{a^2+l^2}}$$